Дидактический материал.

1. В треугольнике ABC длины сторон AB и AC соответственно равны 4 и 6, а синус угла BAC равен . Тогда сторона CB (CB>8) равна:

1) 2) 3) 4) 5) .

2. В равнобедренном треугольнике основание равно 18, а боковая сторона в 1,25 больше высоты. Тогда площадь треугольника равна:

1) 216 2) 108 3) 144 4) 121 5) 110.

3. В треугольнике сторона, равная 12, расположена против угла 30º. Тогда радиус описанной около этого треугольника окружности равен:

1) 24 2) 14 3) 12 4) 8 5) 15.

4. Около прямоугольника с меньшей стороной, равной 46, и углом между диагоналями, равным 60º, описана окружность. Тогда площадь круга равна:

1) 1058π 2) 1600π 3) 2116π 4) 1024π 5) 625π.

5. В ромб вписана окружность радиуса 2. Определить площадь ромба, если его острый угол равен 60º.

1) 2) 3) 4) 5) 16

6. Даны стороны треугольника см, см, см. Тогда радиус описанной около него окружности равен:

1) 64 2) 8 3) 7 4) 5)

7. В треугольник вписан круг радиуса 4 см. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на части, равные 6 см и 8 см. Тогда длины двух других сторон равны:

1) 13 и 12 2) 12 и 8 3) 13 и 15 4) 11 и 9 5) 10 и 6.

8. Внутри круга, радиус которого равен 13 см, дана точка М, отделенная от центра круга на 5 см. через точку М проведена хорда см. Тогда длины отрезков, на которые хорда AB делится точкой М, равны:

1) 9 и 16 2) 8 и 17 3) 4 и 21 4) 5 и 20 5) 6 и 19

9. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 2 и 3. Тогда длина биссектрисы прямого угла этого треугольника равна:

1) 2) 3) 4) 5)

10. Длины оснований трапеции относятся как 7:3 и различаются на 8. Тогда длина средней линии трапеции равна:

1) 6 2) 10 3) 12 4) 8 5) 5.

11. Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 см и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании.

1) 2) 3) 4)

5)

12. Площадь квадрата, вписанного в правильный треугольник со стороной a, равна:

1) 2) 3) 4) 5) .

13. Площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 и 44, а непараллельные – 17 и 25, равна:

1) 420 2) 430 3) 440 4) 450 5) 460

14. Медиана, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, делит его периметр на две части, длины которых равны 30 и 12 соответственно. Определить длину основания треугольника.

1) 1 2) 1,5 3) 2 4) 2,5 5) 3.

15. Сторона ромба равна 16, острый угол равен 30º. Определить радиус вписанного круга.

1) 3 2) 3,5 3) 4 4) 4,5 5) 5.

16. Круг описан около прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен 6 см, а угол, лежащий против этого катета, равен . Тогда площадь круга равна:

1) 6π см² 2) 9π см² 3) 36π см² 4) 144π см² 5) 24π см²

12.2.Стереометрия. Многогранники.

1º. Призмой называется многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников (оснований), расположенных в параллельных плоскостях, и параллелограммов (боковых граней), число которых равно числу сторон оснований.

Если l – длина бокового ребра, P – периметр основания, S_осн – площадь основания, S_сеч – площадь перпендикулярного сечения; S_бок – площадь боковой поверхности, V – объем, H – высота, то:

; .

2º. Прямой называется призма, если ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Прямая призма называется правильной, если в ее основаниях лежат правильные многоугольники.

3º. Прямоугольным параллелепипедом называется прямая призма, основания которой – прямоугольники.

Если a, b, c – измерения параллелепипеда, d – диагональ, то:

; ; .

4º. Куб – прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны (a – ребро).

;

5º. Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого – произвольный многоугольник (основание), а остальные грани (боковые грани) – треугольники, имеющие общую вершину.

Если S_осн – площадь основания, V – объем, H – высота, то:

;

.

Если все боковые ребра пирамиды равны между собой, то:

1. боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы;

2. вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности.

Если все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом α, то:

1. апофемы всех боковых граней равны;

2. вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание;

3. ; ;

6º. Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота проходит через его центр.

Если P – периметр основания, l – апофема, S_бок – площадь боковой поверхности, то:

; ; .

6º. Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Для произвольной усеченной пирамиды: ,

,

для правильной усеченной пирамиды: ,

где S₁ и S₂ – площади оснований, h - высота, V – объем, P₁ и P₂ – периметры оснований, l – апофема; S_бок – площадь боковой поверхности.

Пример 49. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 6 см, 8 см, 10 см и все боковые ребра образуют с основанием углы по 45º. Тогда объем пирамиды равен:

1) 62 см³ 2) см³ 3) 40 см³ 4) 24 см³ 5) 96 см³.

Решение.

Дано: MABC – пирамида,

. Найти .

Так как , т.е. , то по теореме обратной теореме Пифагора – ΔABC – прямоугольный, , AB, BC – его катеты, AC – гипотенуза. По условию все боковые ребра пирамиды наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания, значит, вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности, т.е. в середину гипотенузы ΔABC.

, .

В ΔAOM ( ) острые углы треугольник равнобедренный, . Таким образом,

.

Ответ: см³ (№3 – правильный ответ).

Пример 50. Пусть в треугольной пирамиде все боковые грани образуют с плоскостью основания углы по 60º, и в основание вписан круг площадью 9π см². Тогда высота пирамиды равна:

1) 3 см 2) см 3) см 4) 9 см 5) см.

Решение. Пусть радиус круга, вписанного в основание пирамиды, - r. Тогда площадь круга S равна: . Отсюда . Из прямоугольного треугольника OMN находим: .

Ответ: высота пирамиды равна см (№3 – правильный ответ).

Пример 51. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат площадью 16 см². Через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего проведена плоскость. Площадь полученного сечения равна 20 см². При этом полная поверхность параллелепипеда равна:

1) 96 см² 2) 48 см² 3) 40 см² 4) 80см² 5) 56 см².

Решение.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед, ABCD – квадрат, . см², ABC₁D₁ – сечение параллелепипеда, см². Найти .

.

По условию .

Тогда .

Вычислим СС₁. По условию , , .

Из ΔBCC₁: .

Окончательно, .

Ответ: см² (№4 – правильный ответ).