5.2. Множество значений функции.
1º. Множеством (областью) значений E(y) функции y=f(x) называется множество всех таких чисел y0, для каждого из которых найдется число x0 такое, что f(x0)=y0.
2º. Областью значений всякого многочлена
четной степени является промежуток
,
где m – наименьшее
значение этого многочлена, либо промежуток
,
где n – наибольшее
значение этого многочлена.
Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R.
3º. Области значений основных элементарных функций:
Пример 15. Найти множество значений
функции
,
если x≤1.
Решение: Данная функция не определена
при x=0 и, следовательно,
задана на множестве
.
Рассмотрим x<0,
тогда |x|=-x
и функция принимает вид
.
Так как
для x<0, то
.
Таким образом, на промежутке
функция принимает значения от 5 до +∞.
Если x>0, то |x|=x
и функция имеет вид
.
Так как
для
,
то
.
Ответ:
.
Дидактический материал.
Решите неравенства:
1.
; 2.
; 3.
;
4.
; 5.
; 6.
;
7.
; 8.
; 9.
;
10.
; 11.
; 12.
;
13.
; 14.
;
15.
; 16.
;
17.
; 18.
.
19. При каких x точки
графика функции
лежат
выше прямой
?
20. При каких x точки
графика
лежат не ниже точек графика функции
?
Найти множество значений функции:
21.
,
если
; 22.
,
если
.
Тема №6. Иррациональные уравнения.
1º. Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.
При решении иррациональных уравнений применяют 2 метода: метод возведения в степень обеих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной).
2º. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем:
а) преобразуют заданное иррациональное
уравнение к виду
;
б) возводят обе части полученного
уравнения в n-ую
степень:
;
в) учитывая, что
,
получают уравнение
и решают его.
3º. Следует учитывать, что при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. В этом случае обязательна проверка найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение.
Пример 16. Решить уравнение
.
Решение: Преобразуем уравнение к виду
и возведем обе части его в квадрат.
Получим:
Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:
Откуда получим:
Проверка: 1) При x=5
имеем:
.
Таким образом, x=5
является корнем заданного уравнения.
2)
.
Таким образом, x=197
– посторонний корень.
Ответ: 5.
4º. Метод замены переменной продемонстрируем на примере.
Пример 17. Решить уравнение
.
Решение: Область определения уравнения:
Пусть
,
тогда
Поэтому
Отсюда:
1)
Получили неверное числовое равенство,
значит, в этом случае нет корней.
2)
Ответ: -8/7.
Дидактический материал.
Решите уравнения:
1.
; 2.
;
3.
; 4.
;
5.
; 6.
;
7.
; 8.
;
9.
; 10.
.
Найдите наименьший корень уравнения:
11.
; 12.
;
13.
.
Найдите произведение всех корней уравнения:
14.
; 15.
.
Решите уравнения:
16.
; 17.
;
18.
.
Тема №7.
Показательные уравнения.
7.1. Методы решения показательных уравнений.
1º. Показательными уравнениями называют уравнения, содержащие переменную в показателе степени.
Решение показательных уравнений основано на свойстве степени: две степени с одним и тем же основание равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
2º. Основные способы решения показательных уравнений:
1) простейшее уравнение
имеет решение
;
2) уравнение вида
логарифмированием по основанию a
сводят к виду
;
3) уравнение вида
равносильно уравнению
;
4) уравнение вида
равносильно уравнению
.
5) уравнение вида
через замену
сводят к уравнению
,
а затем решают совокупность простейших
показательных уравнений
;
6) уравнение со взаимно обратными
величинами
заменой
сводят к уравнению
,
а затем решают совокупность уравнений
;
7) уравнения, однородные относительно
ag(x)
и bg(x)
при условии
вида
через замену 
сводят к уравнению
,
а затем решают совокупность уравнений
.