4. Квадратичная функция, ее график.

1º. Функция, заданная формулой , где x, y – переменные, a, b, c – действительные числа, причем а ≠ 0, называется квадратичной.

2º. Графиком функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы.

Координаты вершины параболы определяются по формулам:

.

Если квадратичную функцию путем выделения полного квадрата привести к виду , то точка (x₀; y₀) – вершина параболы.

График квадратичной функции получается из графика функции с помощью параллельного переноса.

3º. Если коэффициент a > 0, ветви параболы направлены вверх, если a < 0 – вниз.

При парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, при D=0 – в одной (т.е. касается оси Ох), при D<0 - парабола не пересекает ось абсцисс.

Пример 3. Построим график функции .

Выполним следующие преобразования (называемые «выделением полного квадрата»):

График функции получается из графика функции параллельным переносом на 2 единицы влево и на две единицы вниз.

5. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

1º. Модуль (абсолютная величина) числа а определяется следующим образом:

.

Геометрический смысл модуля: |a| есть расстояние от точки числовой оси, изображающей данное число а, до начала отсчета - точки О, а |x-a| есть расстояние между точками числовой оси, соответствующими числам х и а.

2º. Уравнения вида можно решать геометрически.

Рассмотрим аналитические способы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, на примерах.

При решении уравнений важно уметь в соответствии с определением модуля освободиться от вертикальных скобок.

Например, , если a ≥ 5;

, если a < 5.

Пример 4. Решим уравнение , используя определение модуля числа.

Решение: Уравнение имеет решение, если x+1≥0, т.е. x≥-1.

.

Условие x≥-1 выполняется в обоих случаях.

Ответ: 4; 2/3.

Пример 5. Решим уравнение , используя свойство модулей («модули противоположных чисел равны»).

Решение:

.

1. |2x+1|=7 => 2x+1=7 или 2x+1=-7 => x=3 или x=-4

2. |2x+1|-3=-4 => |2x+1|=-1 – нет решений.

Ответ: 3; -4.

Пример 6. Решим уравнение , рассматривая решения на интервалах.

Решение: Найдем нули модулей, т.е. такие значения x, при которых и : .

Рассмотрим уравнение на интервалах (-∞; -2), [-2; -1), [-1; +∞).

а) Для уравнение примет вид:

-(x+1)-(x+2)=2; -x-1-x-2=2; -2x=5; x=-2,5; => x=-2,5 – корень уравнения.

б) Для уравнение примет вид:

-(x+1)+(x+2)=2; -x-1+x+2=2; 0·x=1- нет корней.

в) Для уравнение примет вид:

x+1+x+2=2; 2x=-1; x=-0,5; => x=-0,5 – корень уравнения.

Ответ: -2,5; -0,5.

Дидактический материал.

Решите уравнения, сводящиеся к линейным:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ;

6. ; 7. ;

8. ; 9. ;

10. ; 11. .

Решите квадратные уравнения:

12. ; 13. ;

14. ; 15. ;

16. .

Разложите на линейные множители:

17. ; 18. ; 19. ;

20. ; 21. .

Сократите дроби:

22. ; 23. ; 24. ;

25. ; 26. ; 27. .

Упростите выражение:

28. ; 29. .

Найдите среднее арифметическое всех действительных корней уравнения:

30. ; 31. ;

32. ; 33. ;

34. ; 35. ;

36. .

Найдите расстояние от вершины параболы до точки М:

37. ; 38. ;

39. ; 39. .

Постройте график функции:

40. ; 41. ; 42. ;

43. ; 44. ; 45. ;

46. ; 47. ; 48. ;

49. ; 50. ; 51. .

52. По графику квадратичной функции определить знаки ее коэффициентов и их суммы:

Найдите рациональные корни уравнения:

53. ; 54. ; 55. ;

56. ; 57. ; 58. ;

59. ; 60. ; 61. .

Решите уравнения:

62. ; 63. ; 64. ;

65. ; 66. ; 67. ;

68. ; 69. ;

70. ; 71. ; 72. .

Тема №3.

Степени и корни.

3.1. Степень с целым показателем.

1º. Степенью числа а ( ) с целым показателем n называется число , определяемое следующим образом:

1) если n = 0, а ≠ 0: ;

2) если : ;

3) если а ≠ 0: .

При этом число а называется основанием степени, а число n – показателем степени. 2º. Степень с целым показателем удовлетворяет следующим свойствам:

3.2. Арифметический корень. Степень с рациональным показателем.

1º. Арифметическим корнем k-ой степени ( ) из числа а ≥ 0 называется неотрицательное число b, k-ая степень которого равна а:

2º. Замечание. Для любого действительного числа а, любого натурального числа n действуют правила:

в частности .

3º. Свойства арифметических корней. Пусть . Тогда:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) .

4º. Степенью числа a с рациональным показателем определяется равенством:

Степень с рациональным показателем обладает теми же свойствами, что и степень с целым показателем.

Пример 7. Упростить выражение: .

Решение. Используя определение степени и ее свойства, получим: