3.3. Формулы сокращенного умножения.

1º. Во всякого рода алгебраических преобразованиях используются формулы сокращенного умножения:

; ;

; ;

;

; .

Так, если а ≥ 0, b ≥ 0, то .

Или .

Пример 8. Вычислить .

Решение:

Ответ: 4.

Дидактический материал.

Вычислите:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. .

Внесите множители под знак общего корня:

16. ; 17. ; 18. .

Упростите выражения:

19. ; 20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. ;

26. ;

27. .

Ответы: 19. ; 20. x + 4; 21. 0,5; 22. -1; 23. ; 24. 1; 25. 3; 26. x – y;

27. .

Тема №4. Неравенства с одной переменной (часть I).

4.1. Решение линейных и квадратных неравенств.

1º. Решить неравенство с одной переменной – значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным. Элементы этого множества называются решениями неравенства.

Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают. Равносильность неравенств обозначается так: .

2º. Линейным неравенством называется неравенство вида , где .

Если a > 0, то .

Если a < 0, то .

Пример 9. Решить неравенство, сводящееся к линейному:

.

Решение: Раскрыв скобки, получим:

.

Ответ:

3º. Квадратным неравенством называется неравенство вида (или ), где а ≠ 0.

При решении квадратного неравенства в зависимости от знака дискриминанта могут представиться 3 варианта:

1) Если D < 0, то график квадратного трехчлена не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при a > 0 и ниже ее при a < 0. В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором – пустое множество.

2) Если D > 0, то график квадратного трехчлена пересекает ось Ох в точках х₁ и х₂ (x₁ < x₂), являющихся корнями уравнения . Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка (-∞; x₁), (x₁; x₂), (x₂; +∞). Если a > 0, то решением неравенства является множество . Если a < 0, то решением неравенства является множество (x₁; x₂).

3) Если D = 0, то график квадратного трехчлена касается оси Ох в точке х₁, являющейся единственным корнем уравнения . При a < 0 решением неравенства будет пустое множество, при a > 0 – множество .

Пример 10. Решить неравенство .

Решение: Рассмотрим функцию . Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как a = -3 < 0.

Решим уравнение или . Корни этого уравнения . Изобразив схематически параболу , найдем, что y < 0 в каждом из промежутков (-∞; 1/3), (3; +∞).

Ответ: .

4.2. Метод интервалов.

1º. Если дискриминант квадратного трехчлена D > 0 или D = 0, то квадратное неравенство можно переписать в виде или , где x₁ и x₂ – корни квадратного трехчлена, и использовать для его решения метод интервалов.

2º. Для решения любых алгебраических уравнений

вида (1) или вида (2) , где x₁, x₂, …, x_n – действительные числа, удовлетворяющие условию x₁ < x₂ < …< x_n, а k₁, k₂, …, k_n – натуральные числа, применим обобщенный метод интервалов.

Суть его состоит в следующем: на координатной оси отмечают числа x₁, x₂, …, x_n, в промежутке справа от x_n ставят знак +,

затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередную точку x_i меняют знак, если k_i - нечетное число и сохраняют знак, если k_i - четное число. Тогда множеством решений неравенства (1) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак +, а множеством решений неравенства (2) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак – .

Замечание. Обобщенный метод интервалов справедлив и для целых рациональных неравенств P(x) > 0 или Q(x) ≥ 0, и для дробно-рациональных неравенств или , причем последние равносильны неравенству и системе соответственно, где P(x), Q(x) – некоторые многочлены.

Пример 11. Решить неравенство .

Решение: Находим корни квадратного трехчлена :

Данное неравенство равносильно следующему неравенству: . Применяя метод интервалов к последнему неравенству, получим множество всех решений неравенства – отрезок [-2; 3].

Ответ: .

Пример 12. Решить неравенство .

Решение:

Находим корни числителя и знаменателя:

Указанная система равносильна следующей системе:

Нанесем найденные корни на числовую прямую. В интервалах справа налево расставим знаки плюс и минус.

Множеством всех решений данного неравенства является объединение промежутков, в которых поставлен знак минус.

Ответ: .

Дидактический материал.

Решите неравенства:

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

Решите системы неравенств:

5. ; 6. .

Найдите целые решения системы неравенств:

7. ; 8. .

Решите неравенства:

9. ; 10. ; 11. ;

12. ; 13. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28. ; 29. ;

30. ; 31. ; 32. .

Тема №5.

Неравенства с одной переменной (часть II).

5.1. Неравенства, содержащие знак модуля.

1º. При решении неравенств, содержащих неизвестные под знаком модуля, используется определение модуля, что приводит к рассмотрению двух случаев:

а) f(x) ≥ 0, тогда |f(x)| = f(x);

б) f(x)<0, тогда |f(x)| = -f(x).

2º. При решении неравенств вида |f(x)| < a или |f(x)| > b полезно использовать следующие соотношения:

1. неравенство вида |f(x)| < a (или |f(x)| ≤ a), где a > 0, равносильно двойному неравенству –a < f(x) < a (или –a ≤ f(x) ≤ a);

2. неравенство вида |f(x)| > b (или |f(x)| ≥ b), где b > 0, равносильно совокупности двух неравенств .

3º. Для решения неравенств вида |f(x)| > |g(x)| используют метод возведения в квадрат обеих частей неравенства:

Пример 13. Решить неравенство .

Решение: Возведя обе части неравенства в квадрат, получим неравенство, равносильное данному: . Преобразовав последнее неравенство, получим , откуда находим: x ≤ - 2 , x ≥ 0.

Ответ: .

4º. Для решения неравенств вида часто применяют «метод промежутков». Находят ОДЗ неравенства, затем находят корни совокупности уравнений .

Эти корни разбивают ОДЗ на некоторое число промежутков. На каждом промежутке |f_i(x)|=f_i(x) или |f_i(x)|=-f_i(x), i=1,2,…,n. Поэтому на каждом из них данное неравенство заменяется на другое неравенство, уже не содержащее знаков модуля и равносильное данному неравенству на этом промежутке. Затем решают полученные неравенства (каждое на своем промежутке). Объединение всех найденных решений дает решение исходного неравенства.

Пример 14. Решить неравенство .

Решение:

Решение первой системы: ; второй: ; третьей: . Объединяя, получим .