8.6 Анализ цифровых систем управления

При анализе цифровых систем управления их представляют в виде трех элементов: цифрового фильтра (регулятора), фиксатора и приведенной непрерывной части.

Передаточная функция цифрового фильтра для типовых законов управления получена в (8.22). Если в системе имеет место экстраполятор нулевого порядка с передаточной функцией , то с учётом того, что , её можно записать так: . Сомножитель относят к линейной части, поэтому передаточная функция приведённой непрерывной части может быть записана в таком виде:

. (8.25)

Так как -переходная функция линейной части системы, то -передаточную функцию линейной части находят по выражению:

. (8.26)

Записав дифференциальное уравнение в операторной форме, находят передаточную функцию линейной части.

Пусть , тогда изображение переходной функции равно: , а переходная функция линейной части есть обратное преобразование от изображения h(p). Используя Mathcad, легко найти оригинал переходной функции.

_.

_{Для ориентировочного определения периода квантования построим амплитудно-частотную характеристику объекта, рисунок 8.4.}

_{. (8.27)}

Рисунок 8.4 – Амплитудно-частотная характеристика объекта

Как видно из графика, инерционный объект фильтрует высокие частоты. Частота, при которой сигнал на выходе составляет 3% от входного есть частота среза, _.

_{По теореме В.А. Котельникова период измерений, обеспечивающий дискретное измерение непрерывной величины без потери информации находят по формуле: , .}

Примем , тогда решетчатая переходная функция будет:

Прямое Z – преобразование решетчатой функции:

В итоге передаточная функция приведенной непрерывной части равна:

_(8.28)

_{Пусть непрерывный регулятор имеет параметры настройки:}

_{,, , .}

_{Тогда параметры цифрового регулятора равны:}

_{, , .}

_{. (8.29)}

_{Передаточная функция разомкнутой цифровой системы:}

.

_{, . (8.30)}

_{Переходная функция цифровой системы изображена на рисунке 8.5.}

_(8.31)

Рисунок 8.5 - Переходная функция замкнутой цифровой системы

Характеристическое уравнение замкнутой системы определяется путем приравнивания к нулю полинома знаменателя передаточной функции замкнутой системы либо путём приравнивания нулю суммы полиномов числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы.

8.7 Анализ устойчивости цифровых систем.

Критерий устойчивости Джури

Необходимым и достаточным условием устойчивости систем является нахождение всех полюсов передаточной функции замкнутой системы внутри единичного круга на комплексной плоскости, что соответствует условию

где - полюсы передаточной функции замкнутой системы или корни характеристического уравнения.

В настоящее время нет принципиальных трудностей вычисления корней характеристического уравнения с использованием ЭЦВМ, однако при необходимости экономить машинное время целесообразно пользоваться критериями устойчивости Джури, который заключается в следующем.

Пусть задан характеристический полином,

. (8.32)

Введём понятие обратного полинома, получаемого путём перестановки коэффициентов исходного в обратном порядке.

. (8.33)

Разделим на обратный ему. В итоге получим частное от деления число и остаток - полином степени.

Домножая полученный результат , получаем

Затем делим остаток на обратный ему и определяем новое и

и т.д.

Выполняя деление полиномов на обратные или , получаем последовательность

Необходимым и достаточным условием устойчивости цифровой системы являются неравенства:

(8.34)

Если результаты расчёта показывают, что первые два условия выполняются, то имеет смысл находить , …, которые по модулю должны быть меньше единицы. Если все три неравенства выполняются, то, следовательно, цифровая система устойчива.

Существуют и другие алгоритмы анализа устойчивости цифровых систем, например Кларка и Шура-Кона. Алгоритм Кларка, кроме проверки выполнения первых двух неравенств Джури, включает формирование так называемых "внутренних матриц" и вычисление их определителей. Этот алгоритм эффективен для исследования устойчивости линейных цифровых систем высокого порядка.

Алгебраический критерий Шура-Кона подобен критерию Гурвица для непрерывных систем, для чего составляется специальная матрица из коэффициентов характеристического уравнения и проверяется знак определителя этой матрицы.