4.5 Устойчивость сау с запаздыванием

Если САУ имеет чистое запаздывание, то ее устойчивость можно определить только по критерию Найквиста-Михайлова, поскольку характеристическое уравнение будет иметь бесконечное множество корней из-за наличия сомножителя , делающего его трансцендентным.

Действительно, пусть .

Тогда характеристическое уравнение замкнутой системы будет

Раскладывая функцию в степенной ряд, получаем:

Перемножив члены ряда на , получим характеристическое уравнение степени «k», где k, что и требовалось доказать.

Систему с чистым запаздыванием можно рассматривать как предельную систему без запаздывания и звена чистого запаздывания, включенного последовательно:

(4.11)

Из выражения (4.11) следует, что наличие чистого запаздывания не изменяет амплитудно-частотную характеристику, модуль АФХ остается прежним, но изменяется фаза векторов - каждый из них поворачивается по часовой стрелке на угол . Поскольку значения модуля АФХ, как правило, больше при малых частотах, то наличие чистого запаздывания приводит к «разбуханию» АФХ, и она может охватить на комплексной плоскости точку с координатами , рисунок 4.5.

Для определения критического значения , при котором САУ еще устойчива, проводят из начала координат комплексной плоскости единичным радиусом окружность. Точка пересечения ее с АФХ характеризует частоту , при которой Зная , можно найти  (рисунок 4.6).

(4.12)

Рисунок 4.5 – Деформация АФХ звеном чистого запаздывания

Построив АФХ разомкнутой САУ, можно найти запас устойчивости замкнутой САУ по модулю и по фазе (рисунок 4.5,б). Запас устойчивости по фазе есть угол . Запас устойчивости по модулю иногда определяют по расстоянию от точки пересечения АФХ с отрицательной вещественной осью до минус единицы, иногда как величину , где - расстояние от точки пересечения АФХ с отрицательной вещественной осью до начала координат.

Рисунок 4.6 –Оценка запаса устойчивости по модулю и фазе

5 АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ САУ

5.1 Структурные преобразования САУ

При анализе САУ любой сложности приходится изменять ее структуру не изменяя свойств в целях удобства исследования или наглядности, необходимости моделирования или выбора корректирующих звеньев. При этом следует пользоваться следующими очевидными правилами:

при последовательном включении звеньев их результирующая передаточная функция равна произведению передаточных функций от­дельных звеньев;

при параллельном включении звеньев результирующая переда­точная функция равна сумме передаточных функций отдельных звеньев;

при встречно-параллельном включении звеньев результирующая передаточная функция равна частному от деления передаточной функции прямой связи на единицу плюс или минус передаточная функ­ция разомкнутого контура, в котором звенья включены встречно-параллельно (рисунок 5.1). При этом знак «плюс» соответствует отрица­тельной, а «минус» - положительной обратной связи. Для схемы (рисунок 5.1) справедливы соотношения:

.

Исключив из этой системы уравнений промежуточные переменные и , получим: . (5.1)

5.2 Ошибки и их составляющие в САУ

Устойчивость САУ является необходимым условием ее применения, но недостаточным. Системы работают в различных режимах и при раз­личных входных воздействиях. При этом качество системы оценивается по величине ошибки , поучаемой в процессе работы, которая должна быть меньше допустимой (рисунок 5.2):

В соответствии с рисунком изображение ошибки запишем так:

. (5.2)

Рисунок 5.2 – Статическая ошибка регулирования

Здесь .

Если , то , , .

Анализируя качество САУ, определяют:

1. Статическую погрешность регулирования

. (5.3)

2. Время регулирования, характеризующее быстродействие САУ, определяется как время , через которое разность

,

где - заданная величина, определяемая требуемой точностью системы.

3. Максимальное перерегулирование , определяемое как наиболь­ший заброс регулируемой величины относительно установившегося значения.

4. Число перерегулирований, определяемое как число выбро­сов, для которых .

Указанные показатели качества являются прямыми, для их опре­деления необходимо построить или записать переходный процесс.

Статическая ошибка по управляющему и возмущающему воздействиям можно быть найдена на основании теоремы о предельном переходе. ,

.

Если , то система называется астатической по управляющему воздействию.

Аналогично можно определить составляющую статической ошибки по возмущающему воздействию:

, .

Если , то САУ астатическая по возмущающему воздействию.

Если или , то система называется статистической по соответствующему воздействию. Она может быть статиче­ской по одному воздействию и астатической по другому

. (5.4)