5.3 Граница устойчивости и область устойчивости в плоскости одном и двух параметров

Для выделения области параметров, обеспечивающих устойчивую работу САУ, используются критерии устойчивости. Рассмотрим применение одного из них для выделения области устойчивости по одному и двум параметрам.

Критерий устойчивости Гурвица.

Пусть САУ имеет один параметр настройки . Для выделения об­ласти значений , обеспечивающих устойчивость САУ запишем все условия устойчивости - положительность всех главных диагональных миноров до «» при . В частном случае может входить и в . Равенство нулю миноров соответствует границе устойчивости.

Если построить зависимости , , то значение параметра , удовлетворяющие условию устойчивости, будет лежать на оси абсцисс в той области зна­чений , для которых миноры положительны (рисунок 5.3).

Рисунок 5.3 – Пример выделения области устойчивости по критерию Гурвица

Если САУ имеет два параметра настройки и , то приравняв нулю получим уравнение границы устойчивости в плоскости двух пара­метров. Задаваясь значениями одной из них, по каждому уравнению можно найти значение другого и построить линии границы устойчивости. При этом плоскость параметров и будет разделена на области. Для определения области, удовлетворяющей условию устойчивости, необходимо из каждой области взять одну точку и проверить на устойчивость (рисунок 5.3).

Пример.

, , .

, .

Характеристическое уравнение замкнутой САУ

, , , .

Определитнль Гурвица:

.

, всегда положителен при Т1>0.

. .

.

.

График области устойчивости САУ в плоскости параметров К1, Т1.

6 КОСВЕННЫЕ КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА САУ

6.1 Оценка качества САУ по расположению корней характеристического уравнения

Рассмотрим характеристическое уравнение САУ:

. (6.1)

Если при имеем , то ему соответствует составляющая переходного процесса:

, (6.2)

если есть пара комплексно-сопряженных корней , то для них

. (6.3)

Как видно из выражений (6.2) и (6.3), интенсивность затухания переходного процесса определяется величиной отрицательной вещественной части корня. Потребуем, чтобы все составляющие переходного процесса за время уменьшилась не менее чем в раз. Тогда

. (6.4)

Поскольку огибающей составляющей переходного процесса является экспонента, за которую кривая не выходит, то, предположив, что точки и находятся на ней, получим:

. (6.5)

откуда . (6.6)

Условие (6.6) указывает на то, что если по модулю отрицательная часть всех корней характеристического уравнения (6.1) будет не менее , т.е. все корни будут располагаться левее прямой, проведенной на комплексной плоскости параллельно оси ординат на расстоянии слева, то каждая составляющая переходного процесса уменьшается за время не менее чем в раз (рисунок 6.1).

Для того чтобы все корни характеристического уравнения (6.1) находились левее прямой , проведенной на расстоянии, обеспечивающим требуемую абсолютную степень затухания, необходимо, чтобы преобразованное характеристическое уравнение заменой удовлетворяло условию устойчивости. Для рисунка 6.1 справедливы соотношения: .

Заменив в (6.1) на , получим:

. (6.7)

Применяя к (6.7) критерий Гурвица, определяем выполнение условия требуемой абсолютной степени затухания. Рассматриваемое условие может быть проверено с помощью критерия Михайлова.

Если , то САУ обладает требуемой абсолютной степенью затухания.

Иногда требуется уменьшение амплитуды гармонических колебаний каждой составляющей переходного процесса за период в раз. В этом случае

, (6.8)

или , где , поэтому . (6.9)

Для выполнения указанного условия необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения располагались в секторе, ограниченном лучами, проведенными под углом к мнимой оси (рисунок 6.1).

Проверка этого условия может быть произведена с помощью критерия Михайлова. В данном случае вектор должен скользить по лучам и при изменении от до .

Рисунок 6.1 - Область требуемой абсолют- Рисунок 6.2 - Интералная

ной и относительной степени затухания оценка качества САУ

Можно потребовать чтобы САУ одновременно удовлетворяла условию абсолютной и относительной степени затухания. В этом случае корни характеристического уравнения должны находиться в области, ограниченной двумя лучами проведенными под углом к мнимой оси, проведенной слева от нее на расстоянии .