Векторное и смешанное произведения векторов

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором=(2,-3,-6).

17. Два вектора =(2,-1,2) и=(–2,3,6) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов ивекторови;

б) вектора +;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторамиипри условии, что.

18. Найти проекцию вектора =(5;3;-1) на направление вектора .

19. Найти проекцию вектора =(2,–3,-5) на ось, составляющую с координатными осями равные тупые углы.

20. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Известно, что .Найти величену угла между векторамиииспользуя последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координат ХОУ с началом в точке О так, чтобы ось Ох была направлена по диагонали АС (построение четырехугольника нужно начинать с построения диагоналей АС и ВD, причем диагональ АС удобнее расположить горизонтально);

б) найти в этой системе координаты точек А,В,С,D;

в) найти координаты векторов и;

г) найти по формуле

д) подсчитать искомый угол по формуле

21. Найти координаты вектора , еслигде.

22. Дано Найтии

23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину, если=(2,-1,3),(i-3k).

24. Даны вершины треугольника А(2,3,1), В(1,1,-2) и С(2,0,-2). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.

25. Вычислить если.

26. Вектор ортогонален векторам=(2,2,-2) и=(-1,3,-1) и составляет с осьюОу тупой угол. Найти координаты вектора , еслии

27. Вычислить смешанное произведение векторов

28.Установить, компланарны ли векторы

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой: А(10,6,6), В(-2,8,2), С(6,8,9), D(7,10,3).

30. Вектор перпендикулярен к векторами. Вычислить, если ,,,,а тройка векторов – правая.

4. Аналитическая геометрия в пространстве:

плоскость и прямая в пространстве;

Поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельную плоскости.

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую.

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую , перпендикулярно плоскости.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку , перпендикулярно двум плоскостям:и.

35. Найти расстояние от точкидо плоскости.

36. На оси Оу найти координаты точек, отстоящих от плоскости на расстоянииd=2.

37. Даны вершины треугольника А(1-2,-2), В(3,-1,0), С(-3,2,2). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой,,.

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости.

40. Найти проекцию точки Р(4,1,5) на прямую х=3t+2; у=5t-5; z=2t+4.

41. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(4,6,-1) относительно плоскости .

42. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2,5,-2) относительно плоскости .

43. Вычислить расстояние точкиР(3,1,0) от прямой .

44. Составить уравнение прямой l, которая проходит через точку М₀ (1,4,-1) перпендикулярно вектору и пересекает прямую l₁: используя последовательность действий:

а) составить уравнение плоскости П, проходящей через точку М₀ с нормальным вектором ;

б) найти координаты точки М₁ пересечение прямой l₁ с плоскостью П (см. задачу 39);

в) составить кононические уравнения прямой, проходящей через точки М₀ и М₁.

45. Даны координаты вершины пирамиды А₁(2,2,4), А₂(4,2,2), А₃(3,3,4), А₄(5,1,3). Найти:

1. угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

2. угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

3. уравнение прямой А₁А₂;

4. уравнение плоскости А₁А₂А₃;

5. уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) ,

б) х=0, у=0, z=0, ,x+y=1

5. Элементы линейной алгебры: метод гаусса.

решения системы линейных уравнений;

формулы крамера; матрицы; мАтричные уравнения; линейное векторное пространство;

линейная зависимость (независимость)

системы векторов; линейные операторы;

собственные векторы и собственные

значения линейного оператора

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу , где

А=, В=, С=.

50. Найти ранг матриц:

а) ; б).

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами:

а) методом Гаусса;

б) средствами матричного исчисления;

в) по формулам Крамера.

52. Является ли вещественным линейным пространствоми:

а) множество всех векторов из арифметичекого пространства R₄ вида (а;0;0;в)?

б) множество всех векторов из арифметического пространства R₄ вида (а;1;1;в)?

53. Найти все значения , при которых векторлинейно выражается через векторы, если=(2, 1,),=(1, 2, 3),=(2, 1, 3),=(3, 5, 8).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой?=(1, 2, -1, -1),=(2, 1, 2, 1),=(1, –1, 2, 0).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве R₃, матрицы которых относительно некоторого прямоугольника имеют вид:

а) ; б).

56. Является ли оператор гделинейным? Если да, найт его матрицу в базисе (

57. Линейный оператор на плоскостиXOY зеркально отрожает все векторы относительно оси ОХ, а линейный оператор проецирует все векторы плоскости на прямую у=. Найти матрицы операторовив базисе (.