Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Химия_УМП

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Значения T2 находим из уравнения состояния идеального газа (см.

табл.1.1), а Cv решением системы двух уравнений (см. пример 1, уравнение

6), подставив соответственно значения, получим выражение для расчета работы:

A = −	U =	nRT1	1	− (	P2		γ−1
						)	γ	,	(8)

					P1
		γ −1

γ= Cp = 37,1 =1,29 . Cv 28,8

Подставляя численные значения, находим работу:

		2,27	8,314 273				203	1,29−1
		2,27	8,314 273				203	1,29	= −2970	Дж = − 2,97
A =	U =				1	−					кДж.
A =	U =	1,29		−1	1	−					кДж.
		1,29		−1			101

Работа совершается системой за счет убыли внутренней энергии.

Энтальпию находим из уравнения	H = U + (P2 V2 − P1V1 ) (см.
табл.1.1).

Выражая конечный объем V2 из уравнения адиабаты P1V1γ = P2 V2γ и,

подставляя в уравнение для вычисления энтальпии, получим конечное выражение:

γ−1

H =

U + P1V1

;

(9)

−1

1,29−1

203

1,29

−3

H = 2,97 + 1,013 10

0,0509

−1

= 3,83

кДж.

101

Пример 3

Определить количество тепла, работу, изменение внутренней энергии и энтальпии в изохорном, изобарном и адиабатическом процессах, если темпе-

ратура 1 моля идеального газа повысилась на 100 С. Молекулы газа состоят из двух атомов.

Дано: n=1

T=10

γ=1,4

Определить: Q, A, U и H при V=const, p=const и Q=0.

Решение:

1) для изохорного процесса (V=const) Qv=nCv(T2-T1).

Для идеального газа				CV =	R		.

					γ −1
Подставив (2) в уравнение (1), получим:
Q		=	nR	(T − T )=		nR		T .

	V		γ −1 2 1			γ −1

Энтальпия при изохорном процессе равна:

(1)

(2)

(3)

H = U + V(P − P )=

T + P V − P V .

(4)

γ −1

В формуле (4) произведения P2V и P1V заменяем на их значения, определяе-

мые по уравнению Клапейрона-Менделеева:

Тогда:

P2V=nRT2 и

P1V=nRT1.

H =

T + nRT2

− nRT1 =

T + nR(T2 − T1 ) = nR T

γ −1

+ γ −

= nR T

;

H = nR T

;

(5)

γ −1

2) для изобарного процесса (P=const)

Qp=nCp(T2-T1).

(6)

Для идеального газа

CP =

R γ

(7)

γ −1

Подставляя (7) в уравнение (6), находим:

nR γ

(T −T ) =

nR γ

T .

(8)

γ −1

Ap=P(V2 –V1)=PV2 – PV1, учтя, что по уравнению Клапейрона-Менделеева

PV2=nRT2 и PV1=nRT1, тогда

A=nRT2 – nRT1=nR(T2 – T1)=nR T.

(9)

Из математической формулировки первого начала термодинамики определяем U:

		nR γ		γ			γ − γ +1
U = QP −AP	=		T − nR T = nR T		−1	= nR T		;
		γ −1		γ −1
							γ −1

U =	nR	T ;		(10)

	γ −1
QP = H =			nR γ	T ;

			γ −1

1) для адиабатического процесса (Q=0) работа совершается за счет убыли внутренней энергии.

A = −	U = nC (T − T )= −			nR	T ;	(11)

		V 2	1	γ −1

	U =	nR	T .			(12)

		γ −1
Уравнение для энтальпии в адиабатическом процессе запишется:
H=	U+(P2V2 – P1V1).					(13)

Подставляя в уравнение (13) значения P2V2 и P1V1, определяемые по уравнению Клапейрона-Менделеева P2V2=nRT2 и P1V1=nRT1, получаем, что:

H =

T + nRT − nRT =

T + nR T =

γ −1

+ γ −1

= nR T

;

γ −

γ −1

H =

nR γ

T .

γ −1

Сведем все формулы, полученные для расчета Q, A,

U и

H в

табл. 1.2.

Таблица 1.2

Величины

V=const

P=const

Q=const

nR γ

γ −1

−

γ −1

nR γ

γ −1

Из таблицы видно, что изменение внутренней энергии U и изменение энтальпии H будет одинаково во всех процессах. Такой результат и должен был получиться, так как U и H являются функциями состояния, и их величина зависит только от состояния системы, а изменения в результате процесса не зависят от пути процесса, а зависят только от начального и конечного состояния системы.

Поставляем значения исходных данных в полученные формулы.

	14
При V=const				1 8,31
QV	= U =			1 8,31		10 = 207,75 Дж;
QV	= U =					10 = 207,75 Дж;
				1,4 −1
H =		1 8,31 1,4			10 = 290,85 Дж.
H =					10 = 290,85 Дж.
		1,4 −1
При P=const			1 8,31 1,4
QP =	H =		1 8,31 1,4				10 = 290,85 Дж;

1,4 −1

A =1 8,31 10 = 83,1Дж;

U =1 8,31 10 = 207,75 Дж. 1,4 −1

При Q=0

A= - 207,75 Дж; U=207,75 Дж;

H=290,85 Дж.

Знак минус для работы в адиабатическом процессе означает, что в этом случае работа была произведена над системой.

1.2.Расчеты, основанные на соотношениях между теплоемкостью и теплотой процесса

Истинная теплоемкость при постоянном объёме и при постоянном давлении определяется соотношениями:

CV		δQ
CV	=
	dT V
CP		δQ
CP	=
	dT p

=∂U

;∂T V

=∂H .∂T P

(1.4)

(1.5)

Средняя теплоемкость C в интервале температур от Т1 до Т2 определяется соотношением:

	=		Q	,	(1.6)
С
		T	− T

2			1

где Q – количество теплоты, вызвавшее изменение температуры от Т1 до Т2. Различают молярную (атомную) и удельную теплоемкости (табл. 1.2) Единицы физических величин теплоемкостей:

мольной С=Дж/(моль К); удельной С=Дж/(г К).

Таблица 1.3

Значение молярных теплоемкостей (СР и СV) для идеальных газов

Газы		СР			СV		CP/CV=γ
Одноатомные		5	R		3	R	1,66
(He, Ar)	2		R	2		R
(He, Ar)

Двухатомные		7	R		5	R	1,40
(H2, O2)	2		R	2		R
(H2, O2)	2			2
Трехатомные		4 R			3 R		1,33
(Н2О)

Зависимость теплоемкости от температуры для практических расчетов выражают обычно эмпирическими (интерполяционными) формулами в виде

степенных рядов от температуры:
С=а+bТ+сТ2+dT3,	(1.7)
C=α+βT+C′T-2.	(1.8)

где a, b, c, d, α, β, C′ - эмпирические коэффициенты, справедливые для данного интервала температур.

Решая уравнения (1.4), (1.5), (1.6) для n молей, получаем следующие соотношения:

U = n∫T2 CV dT = nCV (T2

− T1 ) ,

(1.9)

H = n∫T2 CP dT = nCP (T2

− T1 ) ,

(1.10)

где QP, QV - количество теплоты, затраченное на нагревание молей вещества

от T1 до T2 .

пользуемся соот-

Для определения средней теплоемкости по истинной

ношением:

∫2

CdT .

(1.11)

− T

Таким образом, чтобы найти среднюю теплоемкость, нужно интегрировать уравнение истинной теплоемкости в пределах температур от T1 до T2 и результат разделить на разность этих температур (T2 − T1 ) , т.е. решить урав-

нение (1.11).

Учитывая, что теплоемкость является функцией температуры, то урав-

нение

для

решения

будет

иметь

вид:

∫(α +βT + γT

С =

)dT =

α(T2

−T1) +

(T2

−T1

) +

3 (T2

−T1

) .

−T1 T

T2 −T1

Откуда

= α + β

(T2

+ T1 ) + γ

(T22 + T1T2

+ T12 ) .

(1.12)

При T1=0, T2=T, находим:

= α + β

T +

T2 .

(1.13)

Наоборот, для определения истинной теплоемкости из средней в пределах от 00 до T или от T1 до T2 по уравнению:

C = d(CT) ; dT

С= d[C(T2 − T1 )].

Следует среднюю теплоемкость С умножить на температуру T ренцировать по температуре.

(1.14)

(1.15)

и продиффе-

Из многочисленных эмпирических соотношений наиболее общий характер имеет правило Дюлонга и Пти (1819 г.) и правило аддитивности Неймана и Коппа.

Правило Дюлонга и Пти: атомная теплоемкость элементов в твердом состоянии, т.е. произведение атомной массы (А) элемента на его удельную теплоемкость (С), есть величина приблизительно одинаковая для всех элементов в среднем:

A				P = 25,1	Дж		;	(1.16)
		C				(моль К)

A			= 24,85		Дж		.	(1.17)
	C					(моль К)
			V

Правило аддитивности Неймана-Коппа: молярная теплоемкость химических соединений в твердом состоянии, т.е. произведение их молярной массы (М) на удельную теплоемкость, равна сумме атомных теплоемкостей элементов, входящих в данное соединение:

M		= 25,1Дж		.	(1.18)
	C		(моль К)
		P

Например, молярная теплоемкость сульфида меди Cu2S, молекула которой состоит из трех атомов, составит приблизительно:

M		=3 25,1= 75,3 Дж		.
	C		(моль К)
		P

Пример 4

Вычислить среднюю молярную теплоемкость Cl2 при постоянном давлении в интервале температур от 300 до 400 К, если выражение для зависимости его истинной теплоемкости от температуры в этом температурном интервале имеет вид:

СP

= 19,21+10,143 10−3 T − 4,012 10−6 T2 Дж

(моль К)

Решение:

Пользуясь уравнением (1.12)

СP = α + β

(T2 + T1 ) + γ

(T22

+ T1T2 + T12 ) ,

получим:

=19,21+5,071 10−3 (400 +300) −1,347 10−6 (4002 + 400 300 +3002 ) =

= 37,765 Дж

(моль К)

Пример 5

Средняя удельная теплоемкость

P углекислого газа в интервале от

00 С до t выражается уравнением:

= 0,846 + 28,98 10−5 t −6,73 10

−8 t 2 , Дж

(г

0 С)

Найти истинную теплоемкость при 600 0С.

Решение:

По уравнению (1.14) умножаем С на t и дифференцируем по температуре:

C		=	d(Ct)	=	d	(0,846 t + 28,98 10−5 t2	− 6,73 10−8 t3 );
	P		dt		dt

получим: CP = 0,846 + 2 28,98 10−5 t −3 6,73 10−8 t2 ,

подставляя значения t=600 0C, находим:

СP = 0,846 + 2 28,98 10−5 600 −3 6,73 10−8 6002 =1,121Дж(г 0 С).

Пример 6

Истинная удельная теплоемкость железа при температуре 373 К равна 0,4703 Дж(г К), средняя удельная теплоемкость в интервале температур

273-373 К составляет 0,4556 Дж(г К). Найти температурную зависимость удельной теплоемкости железа.

Решение:

На основании уравнений (1.7 и 1.13), пренебрегая третьим членом уравнения степенного ряда, содержащего квадрат температуры, составляем систему уравнений: С = α +βT ;

				= α +β	T .
		C		= α +β	T .
2
Откуда определяем значения коэффициентов αиβ:
			0,4703 = α +βT ;					α = 0,4609 ;
	0,45560 = α + β					T ;		β = 0,294 10−3 .
					2
Следовательно:							10−3 Т Дж (г К) ;
СР = 0,4609 + 0,294							10−3 Т Дж (г К) ;
			Р = 0,4609 +0,147				10−3 Т Дж (г К).
	С		Р = 0,4609 +0,147				10−3 Т Дж (г К).

Пример 7

Истинная молекулярная теплоемкость диоксида углерода СО2 при постоянном давлении выражается уравнением:

СР = 29,96 + 0,297 Т − 0,778 10−5 Т2 Дж(г К),

требуется вычислить количество тепла, необходимое для нагревания 200 г газа от температуры 27 до 227 0С при постоянном давлении и при постоянном объеме.

Решение:

По уравнению (1.12) находим значение средней теплоемкости для интервала температур от 27 (300 К) до 227 0С (500 К):

СP = α + β2 (T2 + T1 ) + γ3 (T22 + T1T2 + T12 ) ;

СР = 29,26 + 0,4485 (500 + 300) − 0,259 10−5 (5002 + 500 300 + 3002 ) =

=39,870 Дж(моль К).

Вформулу (1.10)

QP = νCP dT = nCP (T2 − T1 ) .

Подставляем значение средней теплоемкости и рассчитываем количество тепла, необходимое для нагревания:

QP = nCP (T2 − T1 ) = 200 39,87 (500 −300) =36,2454 кДж. 44

Затем по уравнению СP − CV = R , находим теплоемкость при постоянном объеме: СV = CP − R ;

СV =39,87 −8,314 =31,556 Дж(моль К),

и определяем:

QV = nCV (T2 −T1 ) = 200 31,556 10−3 (500 −300) = 28,7 кДж. 44

Обратим внимание, что QP QV , т.е. при постоянном объеме на на-

грев расходуется меньшее количество тепла по сравнению с нагревом при постоянном давлении.

Пример 8

Определить количество тепла, поглощенное при нагревании 1 кг α − Al2 O3 (корунда) от 298 до 1000 К, если его мольная теплоемкость в ин-

тервале температур 298-1000 К может быть выражена уравнением:

СР =115 +12,8 10−2 Т−35,4 10−5 Т−2 Дж(моль К) .

Решение:

Подставляя значение истинной теплоемкости в уравнение (1.10) и решая его, находим, Qp.

QP = nCP dT = n∫TT12 CP dT =

−T1 ) +β

T2 −T1

= n ∫

(α +βT +C′T−2 )dT = n α(T2

(T22 −T12 ) +C′

;

T1T2

1000

[115 (1000 − 298) + 1

12,8 10−2

(10002 − 2982 ) −35,4 10−5 ×

112

1000 − 298

= 766000 Дж = 766 кДж.

298 1000

Пример 9

По известной температурной зависимости молярной теплоемкости газообразного водорода при постоянном объеме:

СV =18,97 + 3,26 10−3 ТДж(моль К),

вычислить все остальные формы теплоемкости при температуре 1000 0С.

Решение:

1)подставляя значения температуры (Т=1273 К) в уравнение теплоемкости, получим значение Сv.

СV =18,97 + 3,26 10−3 1273 = 23,120 Дж(моль К);

2)находим значение средней теплоемкости СV при Т=1273 К. Поскольку α =18,97 иβ =3,26 10−3 , то согласно соотношениям истинной и средней теплоемкости:

a = α =18,97; b = β2 =1,63 10−3.

Поэтому уравнение для средней молярной теплоемкости запишется:

СV = a + b T =18,97 +1,63 10−3 1273 = 21,04 Дж(моль К) ;

3)по уравнению СP − CV = R , находим значения Ср и СP .

Ср=Сv+R=23,120+8,314=31,434 Дж(моль К) ;

СP = CV + R = 21,04 +8,314 = 29,354 Дж(моль К) ;

4) удельные теплоемкости получаются делением Сv, СV и Ср, СP , на молярную массу водорода М(Н2)=2 г(моль) ;

Cv=11,56 Дж (г К);				V =10,52 Дж (г К);
		С
Cp=15,717 Дж (г К);			P =14,0345 Дж (г К).
	С

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.08.201978 Кб21Финансы домашних хозяйств.doc
#
01.06.20151 Мб190ФЛЕЙТА.doc
#
01.05.2025263 Кб9ФМП_лекции.docx
#
26.03.2016595 Кб44ФОС Введение в инженерную деятельность.pdf
#
01.03.2025188 Кб87Фундамент описание.docx
#
01.06.20152 Мб68Химия_УМП.pdf
#
26.04.20198 Мб20Цель работы.docx
#
01.06.201512 Мб178ЦММС.doc
#
01.07.2025752 Кб6Часть 3.doc
#
01.05.2025115 Кб7ЧИПОЛЛИНО Н.Шавва.doc
#
01.07.20252 Мб2Чтение чертежей.doc