= 2ln 2 − 2 +1 = 2ln 2 −1.

2.6. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

При определении ∫b f (x)dx предполагалось, что:

1.Отрезок интегрирования [a;b] конечен;

2.Функция f (x) определена и ограничена на этом отрезке.a

Если нарушается хотя бы одно из условий 1 - 2, то интеграл называется несобственным интегралом.

Несобственные интегралы разделяются на несобственные интегралы 1 рода и несобственные интегралы 2 рода.

2.6.1.Несобственные интегралы 1 рода

Кнесобственным интегралам 1 рода относятся интегралы, у которых нарушено первое условие ,т.е. отрезок интегрирования не конечен

44

+∞∫ f (x)dx сходится и за его значение принимается найденный предел.

a

b

Если же предел lim ∫ f (x)dx не существует, то несобственный интеграл

b→+∞ a

+∞∫ f (x)dx называется расходящимся (не существует).

a

Аналогично определяется сходимость или расходимость несобственных интегралов и для других бесконечных интервалов:

Последнее равенство следует понимать так: если оба несобственные интегралы, стоящие справа, сходятся, то сходится интеграл, стоящий слева.Если хотя бы один из интегралов правой части расходится, то расходится интеграл, стоящий слева.

Предел существует (равен конечному числу), следовательно, несобственный интеграл первого рода сходится.

Пример 8.

Предел не существует, следовательно, несобственный интеграл 1 рода расходится.

Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится, и оценить его значение. Для этого могут быть полезны следующие две теоремы.

45

теграл +∞∫ f (x)dx .

a

В теоремах 1-2 рассматривались несобственные интегралы от неотрицательных функций. Для случая функции f (x), меняющей знак в бесконечном интервале, имеет место следующая теорема.

В этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.

2.6.2. Несобственные интегралы 2 рода

К несобственным интегралом 2 рода относятся интегралы от неограниченных на [a; b] функций, т.е. нарушено 2-ое условие (ограниченности f (x) на [a; b]).

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на интервале [a;b) и

lim f (x)= ∞.

x→b

Если предел, стоящий справа, существует, то говорят, что несобственный интеграл 2 рода сходится или существует. Если же предел, стоящий справа, не существует, то несобственный интеграл расходится или не существует.

Если функция имеет точку разрыва на левом конце отрезка [a;b], то

46

Если каждый из несобственных интегралов, стоящих справа, сходится, то сходится и интеграл, стоящий слева.

тельно, мы имеем несобственный интеграл 2 рода (при верхнем пределе).

∫dx по определению расходится.

−1x2

47