Пример 15. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой

ρ = a(1 + cosϕ).

ρ

ϕ

O 2a

Рис.11

Кривая симметрична относительно полярной оси. Полярный угол для всей кардиоиды изменяется от 0 до 2π , для половины кардиоиды угол изменяется от 0 до π .

Тогда

2.9.ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

1случай. Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая y = f (x). Вычислим длину дуги кривой, заключенной между точками

A(a, f (a))и B(b, f (b)) (рис. 12)

53

длины которых обозначим соответственно ∆L1 , ∆L2 ,..., ∆Ln . Тогда получим ломаную AM1 M2 ...Mn−1 B , вписанную в дугу AB . Длина ломаной

равна

n

L = ∑∆Li .

i =1

Определение. Длиной L дуги AB называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю:

Решение. Вычислим сначала длину четверти окружности, расположенной в 1 четверти.

54

Ответ: L = 2πR (лин.ед).

2 случай. Длина дуги кривой, заданной параметрически:

x = x(t),

y = y(t),

α ≤ t ≤ β и x(α)= a , x(β)= b ,

вычисляется по формуле

β

L = ∫ x′2 + y′2 dt .

α

Пример 17. Вычислить длину окружности, заданной параметрически:

x = R cos t,y = R sin t.

Решение. Для всей окружности t изменяется от 0 до 2π , тогда для

Ответ: L = 2πR .

3 случай. Если кривая задана в полярных координатах ρ = ρ(ϕ), то длина дуги кривой, заключенной между лучами ϕ =ϕ1 и ϕ =ϕ2 (рис.10), можно вычислить по формуле

ϕ1

Пример 18. Вычислить длину кардиоиды ρ = a(1+cosϕ)

Решение. Для всей кардиоиды полярный угол изменяется от 0 до 2π , для половины - от 0 до π .

Тогда

55

Ответ: L = 8a (ед.).

2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА

1 случай. Метод параллельных сечений.

Пусть для некоторого тела известна площадь S любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси OX (рис. 13).

Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости, т.е. будет функцией от x : S = S(x). Пусть S = S(x) непрерывная функция. Проведем плоскости, перпендикулярные оси OX через точки деления отрезка [a;b].

Эти плоскости разобьют тело на слои. На каждом частичном промежутке [xi −1; xi ]возьмем произвольную точку ξi и заменим каждый слой

цилиндром с высотой ∆xi и основанием S(ξi ). Объем каждого такого цилиндра равен Vi = S(ξi )∆xi . Тогда объем всего ступенчатого тела будет равен сумме объемов

Vi , i =1,...,n. Так как S = S(x) есть непрерывная функция, то существует конечный предел

n

V = lim ∑S(ξi )∆xi ,

max ∆xi →0 i =1

который называется объемом тела V , т.е.

V = b∫S(x)dx .

a

56