Пример 3.

ππ

∫cos xdx = sin x 0 = sinπ − sin0 = 0.

1

2.5. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

2.5.1. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть дан интеграл b∫ f (x)dx , где функция f (x) не-

a

прерывна на [a; b]. Пусть x =ϕ(t), где ϕ(t) - монотонная в некоторой

области D. Если:

1)ϕ(α)= a , ϕ(β)= b, α и β D ;

2)ϕ(t) и ϕ′(t ) непрерывны на отрезке [α; β];

3)f (ϕ(t ))определена и непрерывна на отрезке [α; β],

то b∫ f (x)dx = β∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt = β∫ f1 (t)dt .

Замечание 1. Отметим, что при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной, мы не возвращаемся к старой переменной.

Замечание 2. Чаще новую переменную вводят по формуле ψ(x)= t , тогда x =ψ −1(t), находят dx и пересчитывают пределы интегрирования

a ψ(a)

xb ~ t ψ(b).

42

=−27 −1+ 1 = 27 2 =18.

3 3

2.5.2. Интегрирование по частям

Теорема. Если функции u = u( x ) и v = v( x ) непрерывные вместе со своими производными на [a; b], то

Доказательство. (uv)' = u' v + uv ' .

Интегрируя обе части тождества в пределах от a до b, получим:

∫b (uv)' dx = ∫b u'vdx + ∫b uv'dx .

43