Обратные матрицы

Квадратная матрица называется обратимой, если существует матрица такая, что . Эту матрицу называют обратной к матрице и обозначают .

Условием существования матрицы , обратной к квадратной матрице _, является ее невырожденность (условие , где - определитель, составленный из элементов матрицы ).

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется произведение числа на минор - определитель, получающийся при вычеркиванием -ой строки и -го столбца. Например, некоторые элементы матрицы

имеет следующие алгебраические дополнения:

; ; ;

Если квадратная матрица - не вырождена, то обратная матрица _.

Задача. Решить систему уравнений матричным способом:

Решение. Составим матрицы:

- матрица коэффициентов при неизвестных; - матрица неизвестных;

- матрица свободных членов.

Тогда матричная запись рассматриваемой системы уравнений будет иметь вид . Решение матричного уравнения ,

где обратная матрица _.

Найдем определитель матрицы :

.

Алгебраические дополнения _:

; ; ;

; ; ;

; ;

Обратная матрица .

Решение матричного уравнения:

.

_Ответ:

Задача. Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение. Из предыдущей задачи главный определитель системы .

Найдём определитель , который получается из определителя заменой первого столбца столбцом свободных членов.

.

Найдём определитель , который получается из определителя заменой второго столбца столбцом свободных членов, тогда

_{Аналогично:}

По формулам Крамера решение системы:

, ,

_Ответ:

Задача. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение. Составим расширенную матрицу системы: слева от черты коэффициенты при неизвестных, справа свободные члены. Приведем расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований со строками к виду:

_{Обозначим строки матрицы через}

Элементарные преобразования строк следующие:

1.Поменять местами строки .

2.Строку разделить или умножить на число

3.Линейная комбинация строк

Тогда,

Из третьей строки последней матрицы находим:

_{Из второй строки находим:} , откуда

_{Из первой строки находим:} , откуда

_Ответ:

Задача. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

Из третьей строки последней матрицы:

_{Из второй строки имеем} Откуда,

_{Из первой строки находим:} Откуда,

Ответ: Система имеет бесконечное множество решений (совместная неопределенная система).

Задача. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение. Составим расширенную матрицу из коэффициентов матрицы:

Из последней строки находим . Так как деление на ноль невозможно, то данная система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений (несовместная система).

2. Элементы векторной алгебры. Векторы и линейные операции над ними

В геометрии вектором называют направленный отрезок с начальной А и конечной В точками, который можно перемещать параллельно самому себе. Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными (рис.1).

Рис.1

Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными (рис.2).

Рис.2

Если вектор изображается направленным отрезком , то вектор, изображаемый направленным отрезком , называется вектором, противоположным вектору и обозначается - (рис.3).

Рис.3

Если в прямоугольной системе координат точки А и В имеют координаты и , то координаты вектора находятся как разности соответствующих координат конца В и начала А этого вектора, т.е.

,

а модуль его определяется как расстояние между двумя точками:

.

Для векторов вводятся следующие линейные операции: сложения и умножения на число. Если векторы заданы своими координатами и , то:

1) при сложении двух векторов их соответствующие координаты складываются: ;

2) при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число: .