3) Интегралы вида: ,.

Метод интегрирования по частям применяется два раза до появления исходного интеграла. Оба раза в качестве берем либо, либо тригонометрическую функцию. Получаем уравнение относительно исходного интеграла и решаем его.

Пример..

_{Решение.} Это интеграл вида: (3 случай). Поэтому в качествевыберем_.

_.

Обозначим исходный интеграл .

Получим уравнение:

;

;

.

Таким образом, .

В некоторых случаях метод интегрирования по частям надо применять неоднократно.

Пример..

Решение.

.

Задание 5. Интегрирование рациональных дробей.

Выражения вида ;, гдеа  вещественное, k,l  натуральные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней, назовемпростейшими сомножителями.

Известна основная теорема алгебры: любой многочлен степениn можно разложить в произведение простейших сомножителей:

,

где  число; .

Дроби вида , гдеk, l  натуральные числа,  простейший сомножитель, будем называть простейшими рациональными дробями.

Дробь называетсяправильной, если (m и nстепени многочленов, стоящих в числителе и в знаменателе, соответственно). Если , дробь называетсянеправильной.

Каждую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби:.

Теорема. Любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей.

Эта сумма строится следующим образом в два этапа:

1) каждый простейший множитель вида порождает следующую сумму изслагаемых:

;

2) каждый сомножитель вида порождает следующую сумму изслагаемых:

.

В результате мы получим следующее разложение правильной дроби на простейшие:

.

Пример. Разложить дробь на простейшие дроби.

Решение. Так как дробь является неправильной, то сначала выделим целую часть (для этого достаточно найти частное и остаток от деления числителя на знаменатель):

.

Разложим знаменатель на простейшие сомножители:

.

Тогда

;

.

Две дроби, имеющие одинаковые знаменатели, равны, значит равны их числители:

.

Два многочлена тождественно равны тогда, когда у них совпадают коэффициенты при одинаковых степенях , следовательно, можно записать следующую систему уравнений:

.

Решая ее, находим: .

Окончательно получим: .

Из разложения следует, что интегрирование правильных рациональных дробей сводится к интегрированию простейших дробей.

Интегрирование простейших дробей:

I. ;

II. ;

III. .

Этот интеграл вычисляется методом выделения полного квадрата.

IV. , квадратный трехчленне имеет действительных корней.

Первый интеграл берётся заменой:

,

второй интеграл вычисляется по формуле:

В результате получили формулу, в которой подынтегральное выражение имеет степень на единицу меньше. К нему вновь применяем ту же формулу пока не получим в знаменателе степень равную единице.

Пример..

Решение. Подынтегральная дробь является правильной, так как степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе. Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

.

Составим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов:

.

Отсюда .

Следовательно, .

Теперь вычислим исходный интеграл:

.

Пример..

Решение. Сначала разложим дробь на простейшие:

.

.

.

Решая систему, получим: .

Тогда исходный интеграл примет вид:

.

Пример..

Решение. Так как дробь является неправильной, то сначала выделим целую часть. В результате получим:

.

Теперь вычислим интеграл:

.

Пример..

Решение. Подынтегральная дробь является правильной, так как степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе. Разложим дробь на простейшие:

.

.

.

_{Решая систему, получим:} .

Тогда исходный интеграл примет вид:

.

Задание 6. Интегрирование тригонометрических выражений.

Пусть — рациональная функция своих аргументов.