1) Интегралы вида , где m и n- целые числа.

Рассмотрим два случая:

а) Среди чисел m, n есть хотя бы одно нечетное. Тогда отделяем от нечетной степени один сомножитель и выражаем с помощью формулы оставшуюся функцию в четной степени. Вводим новую переменную и приходим к табличному интегралу.

Пример. .

Решение.

.

б) Оба числа m, n- четные неотрицательные.

Применим формулы:

.

Пример..

Решение.

.

2) Интегралы вида , гдеивходят в подынтегральную рациональную функцию, только в четных степенях.

Делается замена: .

При этом .

Пример..

Решение.

.

3) Интегралы вида , гдеивходят в подынтегральную рациональную функцию в нечетных степенях.

Делается универсальная тригонометрическая подстановка:. В результате сводится к интегралу от рациональной дроби.

При этом .

Пример. .

Решение.

.

Приводим к общему знаменателю подынтегральную функцию. А поскольку дроби равны и их знаменатели равны, то равны и числители:

.

Два многочлена равны, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях:

.

Получаем:

.

Задание 7. Интегрирование иррациональных выражений.

Рассмотрим некоторые типы интегралов, которые надлежащей подстановкой могут быть сведены к интегралам от рациональных функций, а, следовательно, могут быть выражены через элементарные функции. Пусть R(u) — рациональная функция переменной u. Возможны несколько случаев.

1) Интегралы вида: и, где и– рациональные функции оти, соответственно, а— натуральное число.

С помощью подстановок иуказанные интегралы сводятся к интегрированию рациональных функций отt и z, соответственно.

Пример..

Решение. Сделаем замену , откуда,. В результате получим:

.

Исходный интеграл сведен к интегралу от рациональной функции – неправильной дроби, которую интегрируем с помощью выделения ее целой части:

.

Таким образом, , где.

Пример..

Решение.

Полагая , имеем,,.

Откуда:

.

Таким образом, мы пришли к интегралу от рациональной функции переменной t, представленной неправильной дробью. Интегрируем ее методом выделения целой части:

.

Таким образом, , где.

Пример..

Решение. Сделаем замену , откуда,,.

Имеем:

, где .

2) Если в подынтегральную функцию входят радикалы с разными показателями вида , и т.Д. Или,и т.Д.

Сводим к интегрированию рациональных функций от переменных tи z с помощью подстановок исоответственно, гдеk - наименьшее общее кратное показателей корней, т.е. чисел n, p, …

Пример..

Решение. Показатели радикалов подынтегральной функции равны 2 и 3. Их наименьшее общее кратное (наименьшее число, которое делится на 2 и на 3) равно 6. Поэтому произведем замену переменной . Тогда,,, .

Следовательно,

, где .

Пример..

Решение. Показатели радикалов подынтегральной функции равны 2 и 4. . Поэтому производим замену переменной. Тогда,.

Следовательно,

, где .

3) Интеграла вида .

—рациональная функция от и,- натуральное число и выполнено неравенство.

С помощью замены переменной нахождение такого интеграла сводится к интегрированию рациональной функции отt .

Пример..

Решение. Положим , откуда,,,.

Следовательно,

,

где .

Пример..

Решение. Полагая , имеем,,.

Тогда

, где .

4) Тригонометрические подстановки.

Интегралы ,,приводятся к интегралам от рациональных функций относительноис помощью следующих тригонометрических подстановок:

для интеграла :;

для интеграла :;

для интеграла :.

Пример..

Решение. Это интеграл второго типа. Поэтому применим подстановку .

Тогда .

.

Следовательно,

, где .

Пример..

Решение. Этот интеграл первого типа и поэтому применим подстановку .

Тогда ,.

Следовательно,

, где .