2. Определенный интеграл и его приложения

Если — некоторая первообразная функции, непрерывной на отрезке, то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница:

.

Пример..

Решение.

.

Задание 8. Замена переменной.

Пусть выполняются следующие условия:

1) функция непрерывна на отрезке;

2) функция непрерывна вместе со своей производнойна отрезке;

3) ,;

4) функция определена и непрерывна на отрезке.

Тогда .

Пример..

Решение.

.

Задание 9. Интегрирование по частям.

Определенный интеграл по частям вычисляется по формуле:

,

где — непрерывно дифференцируемые функции на отрезке. Случаи, в которых следует применять интегрирование по частям, такие же, как в неопределенном интеграле.

Пример..

Решение.

.

Задание 10. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными в декартовых координатах.

В декартовой системе координат элементарной фигурой является криволинейная трапеция (рис.1), ограниченная линиями ,,,, площадь которой вычисляется по формуле:

Рис.1

Площадь фигуры (рис.2) вычисляется по формуле:

Рис.2

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

_{Решение.} Построим чертеж к задаче (рис. 3).

—это парабола (ветви направлены вверх, вершина находится в точке с координатами (0;-2));

—прямая, проходящая через начало координат.

Найдем точки пересечения кривых. Для этого решим систему уравнений: .

Отсюда

Площадь фигуры вычислим по формуле:

(кв.ед.).

Рис. 3

Задание 11. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрическими уравнениями.

Если фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями, то площадь вычисляется по формуле:

Пример. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрическими уравнениями: .

Решение. Дан эллипс с полуосями: большая — , малая —. Сделаем чертеж к задаче (рис.4).

Рис. 4

В силу симметричности фигуры вычислим площади. Найдем пределы интегрирования:

так как , то;

.

.

.

Следовательно, площадь (кв.ед.).

Задание 12. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах.

В полярной системе координат элементарной фигурой является кри­­­­во­­­­­ли­­­­ней­­­ный сектор (рис.5), площадь которого вычисляется по формуле:

Рис. 5

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией

Решение. Так как определяет расстояние до соответствующей точки, то. Следовательно, область определения функции определяется неравенством. Общее решение этого неравенства имеет вид:

где .

Отсюда . Так как в полярной системе координат выполняются ограничения на область изменения, то область допустимых значений функциив полярной системе координат состоит из трех промежутков, описывающихся соответствующими неравенствами:

Выбрав несколько значений из указанных промежутков, построим график функции (рис. 6).

Рис.6

В силу симметричности фигуры вычислим площади, где полярный угол

.

.

Следовательно, площадь всей фигуры (кв.ед.).

Задание 13. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями.

Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, вычисляется по формуле:

.

Замечание. При вычислении длины кривой, заданной параметрическими уравнениями, нижний предел интегрирования должен быть меньше верхнего предела интегрирования.

Пример. Вычислить длину дуги астроиды, заданной уравнениями:

.

Решение.

Вычислим производные функций:

.

Вычислим подынтегральную функцию:

.

.

Следовательно, длина дуги (ед.).

Задание 14. Вычисление объема тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями в декартовых координатах.

Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная линиями ,,,, где- непрерывная функция. Если ее вращать вокруг оси абсцисс, то получим тело вращения (рис.7), объем которого вычисляется по формуле:

Рис.7

Если криволинейную трапецию, ограниченную линиями ,,,, где- непрерывная функция, вращать вокруг оси ординат, то получим тело вращения (рис.8), объем которого вычисляется по формуле:

Рис.8

Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная линиями ,,,, где(рис.9), то объем полученного тела вращения вычисляется по формуле:

.

Рис.9

Пример. Криволинейная трапеция, ограниченная осью абсцисс и кривой вращается вокруг оси. Найти объем полученного тела вращения.

Решение. На рис.10 изображена криволинейная трапеция, которая вращается вокруг оси .

Рис.10

_{Точки пересечения кривой} с осью :.

Следовательно, пределы интегрирования: .

Искомый объем тела вращения:

(куб.ед.).

Пример. Криволинейная трапеция, ограниченная осью ординат и кривой вращается вокруг оси. Найти объем полученного тела вращения.

Решение. На рис.11 изображена криволинейная трапеция, которая вращается вокруг оси .

Рис.11

_Кривая — это парабола с вершиной (-4;2), которая пересекает ось ординат в точках

Следовательно, пределы интегрирования: .

Искомый объем тела вращения:

(куб. ед.).

Пример. Фигура, ограниченная линиями и,вращается вокруг. Найти объем полученного тела вращения.

Решение. На рис.12 изображена фигура, которая вращается вокруг оси .

Рис.12

_{Точки пересечения параболы} и прямой .

Следовательно, пределы интегрирования: .

Искомый объем тела вращения вычислим по формуле:

.

(куб. ед.).