2.3. Колебания энергии при резонансе

В последовательном L, C, R контуре в общем случае полная мощность, отдаваемая подключенным источником гармонических колебаний, состоит из мощности рассеяния P на активном сопротивлении и реактивной мощности Q, обусловленной обменом энергии между генератором напряжения и полями индуктивного и реактивного элементов.

Обозначим сумму энергии магнитного и электрического поля как W=W_M+W_E, где W_M и W_{Е -} запас энергии в магнитном и электрическом поле соответственно.

Е сли в цепи установится ток , то напряжение на конденсаторе равно , следовательно,

Рассмотрим процессы колебания энергий в различных режимах работы. В режиме резонанса _ , покажем, что при этом .

Действительно , откуда .

С учетом сказанного можно записать: .

Используя последнее равенство, запас реактивной энергии в каждый момент времени можно представить как

, то есть при резонансе сумма энергий электрического и магнитного полей с течением времени не изменяется, причем максимальные значения W_H и W_E равны W .

Н а рис. 2.6 приведены кривые обмена энергией в RLC-контуре, соответствующие моменту резонанса .

Рис. 2.6.

Из рисунка видно, что между конденсатором и катушкой происходит непрерывный обмен энергией. При этом цепь в целом ведет себя как активное сопротивление, и возврата энергии из полей L или C к источнику приложенного напряжения нет.

При добротности контура , энергия, посылаемая источником к активному сопротивлению, меньше, чем энергия, запасенная в магнитном или электрическом поле, что проявляется в повышенном, по сравнению с входным, напряжением на индуктивности и емкости.

При частоте, отличной от резонансной, , и максимумы энергии в магнитном и электрических полях неравны друг другу, как неравна нулю и реактивная энергия источника (рис2.7.).

Рис. 2.7.

Это значит, что, например, при (рис.2.7.), энергия магнитного поля в каждый момент времени суммирует энергию поля конденсатора и энергию, доставляемую источником питания. Колебания W совпадают по фазе с колебаниями W_L , то есть цепь имеет индуктивный характер. При , цепь по аналогичным причинам приобретает ёмкостной характер.

В цепях сложной конфигурации и энергетические процессы имеют более сложный характер.

Более подробно процессы обмена энергией можно смоделировать посредством программы energi.mcd приложения .

2.4. Резонанс токов

Резонанс токов наблюдается в параллельном контуре, и его внешние энергетические проявления подобны энергетике резонанса напряжений.

На резонансной частоте потребляемая контуром мощность полностью рассеивается на активном сопротивлении, обмена реактивной энергией с источником нет, так как она полностью перераспределяется между катушкой индуктивности и конденсатором.

Если воспользоваться параллельными схемами замещения реальной катушки и реального конденсатора, то схема замещения реального R,L,C контура примет вид, представленный на рис. 2.8.

Рис. 2.8.

Для схемы справедливо:

(2.17)

или ,

где .

Из последнего выражения видно, что взаимная компенсация реактивных проводимостей, а следовательно, и резонанс при параллельном соединении имеет место при условии , или , то есть при тех же условиях, что и резонанс в последовательном контуре. В силу эквивалентности последовательных и параллельных схем замещения существует очевидное соотношение их основных параметров.

Таблица 1

При последовательном При параллельном

соединении соединении

В обоих случаях:

Анализируя выражение (2.17), для полного тока можно отметить следующее.

Если g - проводимость активной ветви неизменна, то полная проводимость Z цепи при резонансе достигает своего наименьшего значения равного g, так как в этот момент b=0. Полное сопротивление цепи Z при этом максимально, а ток в цепи минимален (в отличие от момента резонанса в последовательном контуре). В момент резонанса при условии или , (2.18)

ток I_L (как и ток I_C ) будет превышать ток на активном сопротивлении.

Поэтому резонанс в параллельном контуре называют резонансом токов.В

момент резонанса , и условие (2.18) можно записать как , или , или ,

где величина называется волновой проводимостью, а отношение затуханием контура .

Резонансные кривые (рис.2.9.) для параллельного контура при неизменном напряжении питания U, неизменных R, L и C это зависимости I() , I_L() , I_C().

Аналитические выражения функции общего тока и токов в ветвях имеют вид:

;

; ; .

Рис.2.9.

Следует обратить внимание, что I() имеет минимум при частоте, равной резонансной, кривые I_L() и I_C() экстремумов не имеют.

Обобщенные резонансные кривые идеального контура (рис.2.10.) наглядно показывают влияние затухания d на форму резонансных кривых.

Р ис.2.10.

При выводе аналитической зависимости обобщенной резонансной кривой следует принять во внимание следующие равенства:

; ,

с учетом которых проводимость контура можно записать как .

Окончательно получим

.

Анализируя графики, легко заметить следующее. Чем меньше затухание цепи, тем острее резонансная кривая и тем ярче выражен резонанс.

П ри резонансе дает отношение тока в индуктивной (или емкостной) ветви к напряжению на входе контура, а - отношение тока в неразветвленной части контура к току в индуктивной или емкостной ветви.

Приравняв , получим равенство .

Проведя рассуждения, подобные сделанным при анализе выражения 2.14,можно сформулировать аналогичное правило и для параллельного контура. Затухание контура можно определить по его резонансной кривой, как длину отрезка заключенного между точками пересечения кривой с линией

.

При расчете параметров параллельного колебательного контура можно воспользоваться файлом rezon_i.mcd приложения.