Ш. Квантовая теория основные формулы

 Формула Эйнштейна для фотоэффекта

где h - энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электрона; Т – кинетическая энергия фотоэлектрона.

 Красная граница фотоэффекта:

₀=A/h или ₀ = hc/A,

где ₀ – минимальная частота света, при которой еще возможен фотоэффект; ₀ – максимальная длина волны света, при которй еще возможен фотоэффект; h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме. Формула Комптона:

или

где  - длина волны фотона, встретившегося со свободным или слабо связанным электроном; ^’ длина волны фотона, рассеянного на угол  после столкновения с электроном: m₀ – масса покоящегося электрона.

 Комптоновская длина волны для электрона:

 Давление света при нормальном падении на поверхность:

где Е – облученность поверхности или плотность потока энергии;  - объемная плотность лучистой энергии;  - коэффициент отражения света поверхностью.

 Длина волны де Бройля:  = 2 /p, где р – импульс частицы.

 Релятивистская масса:

где m₀ – масса покоя частицы;  - ее скорость; с – скорость света в вакууме;  - скорость частицы, выраженная в долях скорости света ( = /с).

 Импульс частицы:

а) в нерелятивистском случае:

p = m₀,

б) в релятивистском случае:

где m₀ - масса покоя частиц; m – релятивистская масса;  - скорость частицы; с – скорость распространения электромагнитного излучения в вакууме.

 Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы:

где Е₀ = m₀c² – ‘энергия покоя частицы.

 Полная энергия свободной частицы:

Е = Е₀ + Т,

где Т – кинетическая энергия релятивистской частицы.

 Кинетическая энергия релятивистской частицы:

 Связь импульса частицы с кинетической энергией Т:

а) в нерелятивистском случае

б) в релятивистском виде:

где Е₀ – энергия покоя частицы (Е₀ = m₀c²).

 Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы::

Е² = Е₀²+ (рс)².

 Соотношение неопределенностей

а) для координаты и импульса

р_хх  ,

где р_х – неопределенность проекции импульса на ось х; х – определенность координаты;

б) для энергии и времени Еt ,

где Е – неопределенность энергии; t – время жизни квантовой системы в ином энергетическом состоянии.

 Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний:

где х) – волновая функция, описывающая состояние частицы; m – масса частицы; Е – полная энергия; U = U(x) - потенциальная энергия частицы.

 Плотность вероятности:

где d(x) – вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой х на участке dx.

 Вероятность обнаружения частицы в интервале значений от х₁ до х₂:

 Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого прямоугольного потенциального ящика:

а) собственная нормированная волновая функция

б) собственное значение энергии

где n – квантовое число (n = 1,2,3,…); l – ширина ящика. В области 0  х, x ≥ ℓ, U =  и (х) = 0.

 Момент импульса электрона (второй постулат Бора):

где m – масса электрона; _n – скорость электрона на n-ной орбите; r_n – радиус n-ной орбиты (дозволенной); - постоянная Планка ( =1,05^.10^-34 Дж^.м); n = 0 не реализуется).

 Радиус боровской орбиты:

r_n = a₀n²,

где a₀ =52,9 пм – радиус боровской орбиты.

 Энергия электрона в атоме водорода:

Е_n = -E_i/n²,

где Е_i = 13,6 эВ – энергия ионизации водорода.

 Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода:



или

где n₁ и n₂ – квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.

 Спектроскопическое волновое число:

где  - длина волны излучения или поглощения атомом; R =1,097^.10⁷ м^-1 – постоянная Ридберга.

 Массовое число ядра (число нуклонов в ядре)

А = Z + N,

где Z – зарядовое число (число протонов), N – число нейтронов.

 Основной закон радиоактивного распада:

N = N₀ e^{- t}

где N – число ядер, не распавшихся к моменту времени t; N₀ – число ядер в начальный момент времени (t=0);  - постоянная радиоактивного распада.

 Число ядер, распавшихся за время t:

N = N₀ – N = N₀(I-e^-t)

В случае, если промежуток времени t, за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада Т_1/2, то число распавшихся ядер можно определить по формуле

N = Nt.

 Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада:

Т_1/2 = In2/ = 0,693/.

 Cреднее время жизни  радиоактивного ядра, т.е. промежуток времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз:

 = I/.

 Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе

гдн m – масса изотопа;  - молярная масса; N_A – число Авогадро.

 Активность А радиоактивного изотопа:

или

где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt; А₀ – активность изотопа в начальный момент времени.

 Удельная активность изотопа:

а = А/m

 Дефект массы ядра:

m = Zm_p+(A-Z)m_n-m_я,

где Z – зарядовое число (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов в ядре); (A-Z) – число нейтронов в ядре; m_p – масса протона; m_n – масса нейтрона; m_я – масса ядра.

 Энергия связи ядра:

Е_св = mc²,

где m – дефект массы ядра; c- скорость света в вакууме.

Во внесистемных единицах энергия связи ядра равна

Е_св = 931m,

где m – дефект массы в а.е.м.; 931 – коэффициент пропорциональности (1 а.е.м. 931 МэВ).

 Молярный объем кристалла:

V_ = /,

где  - молярная масса;  - плотность кристалла.

 Объем элементарной ячейки в случае решетки кубической сингонии:

V_эл = а³,

где а – параметр решетки.

 Число элементарных ячеек в одном моле кристалла

Z_ = V_/V_эл,

если кристалл состоит из одинаковых атомов, то

Z_ = N_A/n

где n – число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную ячейку; N_A – число Авогадро.

 Число элементарных ячеек в единице объема кристалла:

если кристалл состоит из одинаковых атомов, то

 Параметр кубической решетки, состоящей из одинаковых атомов:

 Расстояние между соседними атомами в кубической решетке:

а) в гранецентрированной

d = a/

б) в объемно-центрированной

.

 Среднее значение энергии квантового одномерного осциллятора:

,

где ₀ нулевая энергия (₀= ; - постоянная Планка;  - циклическая частота колебаний осциллятора; k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура.

 Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимодействующих квантовых осцилляторов:

где R – универсальная газовая постоянная;  _Е - характеристическая температура Эйнштейна (_Е = ) U₀ – молярная нулевая энергия (по Эйнштейну)

 Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела по Дебаю:

где _D – характеристическая температура Дебая .

 Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела в области низких температур (предельный закон Дебая):

Эта формула справедлива при условии T<<_D.

 Теплота, необходимая для нагревания тела:

где m – масса тела;  - молярная масса; Т₁ и Т₂ – начальная и конечная температуры тела.

 Распределение свободных электронов в металле по энергиям при абсолютном нуле:

,

где dn()- концентрация электронов, энергии которых заключены в пределах от  до  +d, m – масса электрона.

Это выражение справедливо при <_f (где _f – энергия или уровень Ферми).

 Энергия Ферми в металле при Т = 0:

где n – концентрация электронов в металле.

 Удельная проводимость собственных полупроводников:

 = en(b_n + b_p),

где е – элементарный заряд; n – концентрация носителей тока электронов и дырок; b_n и b_p – подвижности электронов и дырок.

 Напряжение на гранях прямоугольного образца при эффекте Холла, холловская разность потенциалов:

U_H = R_HBja,

где R_H – постоянная Холла; В – магнитная индукция; j – плотность тока: а – ширина пластины (образца).

 Постоянная Холла для полупроводников типа алмаз, германий, кремний и других, обладающих носителями тока одного вида (n или p):

где n – концентрация носителей тока.

 Связь магнитной индукции с напряженностью магнитного поля в изотропном магнетике:

= ₀ ,

где  - магнитная проницаемость среды; ₀ = 4^.10^-7 Гн/м – магнитная постоянная.

 Намагниченность однородного изотропного магнетика:

а) рассчитанная на единицу объема

;

б) молярная

в) удельная

.

где - магнитный момент i-той молекулы (атома); N – число молекул в объеме V; m - масса магнетика; M – молярная масса;  - плотность магнетика.

 Магнитная восприимчивость однородного изотропного магнетика:

а) рассчитанная на единицу объема

б) молярная

в) удельная

где Н – напряженность магнитного поля.

 Связь магнитной восприимчивости с магнитной проницаемостью:

 = 1 +.

• Намагниченность при насыщении в случае однородного изотронного магнетика

,

где n – концентрация молекул атомов с магнитным моментом .

 Магнитная восприимчивость парамагнитного однородного изотропного магнетика при условии p_mВ<kT:

,

где k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура.

 Магнетон Бора:

где m – масса электрона; _В = 0,927^.10^-23 Дж/Тл.

 Частота ларморовой прецессии:

где В – магнитная индукция.