Примеры решения задач

Пример 1

Потенциометр с сопротивлением R = 100 Ом подключен к батарее, ЭДС которой  = 150 В и внутреннее сопротивление r = 50 Ом. Определить показание вольтметра с сопротивлением R_v = 500 Ом, соединенного с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра. Какова разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра?

Дано: Решение

R = 100 Ом _V

 = 150 В

r = 50 ^A

R _v = 500 Ом ^B

U _I, U₂ = ?



Рис.2

Показание U₁ вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис.2) определяется по формуле

U₁ = I₁R₁, (1)

где I_{1 –} сила тока в неразветвленной цепи; R₁ –сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра.

Силу тока I₁ найдем по закону Ома для всей цепи:

, (2)

где R_e – сопротивление внешней цепи.

Внешнее сопротивление R_e есть сумма двух сопротивлений:

. (3)

Сопротивление R₁ параллельного соединения может быть найдено по формуле

откуда

R₁= .

Подсчитав числовые значения, найдем

.

Подставив в формулу (2) выражение внешнего сопротивления R_v из равенства (3), определим силу тока:

Если подставить значения I₁ и R₁ в формулу (1), то можно определить показания вольтметра:

U₁ = 1,03^.45,5В = 46,9 В.

Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I₂ на половину сопротивления потенциометра:

Подставляя в эту формулу числовые значения, получим

Проверка размерности:

Пример 2

Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение времени t = 2 с по линейному закону от I₀=0 до I = 6 А (рис.3). Определить теплоту Q₁, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и Q₂ – за вторую, а также найти отношение Q₂/Q₁.

Дано: t = 2 с I0 = 0 A I = 6 А Q1, Q2, Q2/Q1-?

Решение I, A 6 3 0 1 2 t,c Рис.3

Закон Джоуля-Ленца в виде Q = I²Rt справедлив для случая постоянного тока (I = const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде:

dQ = I²Rdt. (1)

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем случае

I = k t, (2)

где k – коэффициент пропорциональности, численно равный приращению силы тока в единицу времени, т.е.

С учетом (2) формула (1) примет вид

. (3)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный промежуток времени t, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t₁ до t₂:

При определении теплоты, выделившейся за первую секунду, пределы интегрирования t₁=0, t₂=I c и, следовательно,

При определении теплоты Q₂ пределы интегрирования t₁ = I c, t₂ = 2 c, тогда

Дж.

Следовательно, Q₂/Q₁ = 420/60=7, т.е. за вторую секунду теплоты выделится в 7 раз больше, чем за первую.

Проверка размерности:

Q = .

Пример 3

Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех сопротивление и гальванометра (рис.4). В этой цепи R₁ =100 Ом, R₂ =50 Ом, R₃ =20 Ом. ЭДС элемента  = 2В Гальванометр регистрирует ток I₃ = 50 мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить ЭДС ₂ второго элемента. Сопротивление гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

Дано: Указание

R ₁=100 Ом _В _{1 С}

R₂=50 Ом I₁ + - I₂

R₃=20 Ом

_1=2 В _A ^{F D}

I₃ = 50 Ма I₃ R₁ R₂

₂ = ? R₃ ^Г

• +

^Н ₂ ^G

Рис.4

Для расчета разветвленных цепей применяют законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов, сходившихся в узле, равна нулю, т.е.

.

Второй закон Кирхгофа. В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на отдельных участках цеп равна алгебраической сумме ЭДС, встречающихся в контуре:

.

На основании этих законов можно составить уравнения, необходимые для определения искомых величин (сил токов, сопротивлений и ЭДС). Применяя законы Кирхгофа, следует соблюдать следующие правила:

1. Перед составлением уравнений произвольно выбрать:

а) направления токов (если они не заданы по условию задачи) и указать их стрелками на чертеже; б) направление обхода контуров.

2. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа считать токи, подходящие к узлу, положительными; токи, отходящие от узла – отрицательными. Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.

3. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа надо считать, что: а) падение напряжения на участке цепи (т.е. произведение IR) входит в уравнение со знаком «плюс», если направление тока в данном участке совпадает с выбранным направлением обхода контура; в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком «минус»; б) ЭДС входит в уравнение со знаком плюс, если она повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е. если при обходе приходится идти от минуса к плюсу внутри источника тока; в противном случае ЭДС входит в уравнение со знаком «минус».

Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, должно быть меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи. Для составления уравнений первый контур можно выбрать произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при решении уравнений, составленных указанным способом, получены отрицательные значения силы тока или сопротивления, то это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течет в направлении, противоположном произвольно выбранному.

Решение

Выберем направления токов, как они показаны на рис.4, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.

По первому закону Кирхгофа для узла F имеем

I₁ – I₂ – I₃ = 0 (1)

По второму закону Кирхгофа имеем для контура АВСDFA:

-I₁R₁ – I₂R₂ = -₁.

или после умножения обеих частей равенства на –1

I₁R₁ + I₂R₂ = ₁. (2)

Соотвественно, для контура AFGHA

I₁R₁ + I₃R₃ = -₂. (3)

После подстановки числовых значений в формулы (1), (2) и (3) получим:

-I₁ – I₂R₂-0,05 = 0;

50I + 25I₂ = I

100I₁+ 0,05^.20 = -₂.

Перенеся в этих уравнениях неизвестные величины в левые части, а известные – в правые, получим следующую систему уравнений:

I₁ – I₂ = 0,05;

50I₁ + 25I₂ = I;

100I₁ + ₂ = -1.

Эту систему с тремя неизвестными можно решить обычными приемами алгебры, но так как по условию. Задачи требуется определить только одно неизвестное  из трех, то воспользуемся методом определителей.

Составим и вычислим определитель  системы:

Составим и вычислим определитель _2:

_2 =

Разделив определитель _2 на определитель , найдем числовое значение ЭДС _2: _2= - 300/(-75) = 4 В.

Пример 4

Ток 100 А течет по коническому медному проводнику, размеры которого показаны на рис.5. Определить плотность тока и напряженность электрического поля на торцах проводника.

Дано: Решение

I = 100 A

j, Е = ? _{а = 6 мм у}

^{D=10 мм}

_х

_{=20 мм}

Рис.5

Диаметр проводника в произвольном сечении, отстоящем на расстоянии х от меньшего сечения, равен

Плотность тока и напряженность поля в произвольном сечении

Подставив исходные данные для левого и правого сечений, получим

а) j = 3,5^.10⁶ A/м²; Е = 6,2^.10^-2 В/м;

б) j =1,3^.10⁶ А/м²; Е = 2,2^.10^-2 В/м.

Проверка размерности:

Пример 5

В цепь, состоящую из аккумулятора и сопротивления R=10 Ом, включают вольтметр, сначала последовательно, затем параллельно сопротивлению R. Оба показания вольтметра одинаковы. Сопротивление вольтметра R_v=1000 Ом. Каково внутреннее сопротивление аккумулятора?

Дано: Решение:

R = 10 Ом Так как показания вольтметра одинаковы,

R_v = 1000 Ом значит, падение напряжения на вольтметре в

U₁ = U₂ первом случае (последовательное соединение),

r = ? равно падению напряжения на вольтметре и

параллельно включенном сопротивлении во

втором случае.

Подсчитаем силу тока и падение напряжения на вольтметре в обоих случаях. Пусть  - ЭДС аккумулятора, r – его внутреннее сопротивление. Тогда:

а) ток в цепи при последовательном включении вольтметра

падение напряжения на вольтметре

б) ток в цепи при параллельном включении вольтметра

падение напряжения на вольтметре

Условие U₁=U₂ дает

Откуда

Проверка размерности:

r= .

Пример 6

Два параллельных бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис.6), отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r₁ = 5 cм, от другого – r = 12 см.

Дано: Решение

I = 60 A

d = 0,1 м _А

r₁=0,05 м r₁

r₂ = 0,1 м I_c

В = ? d

I _D

Рис.6

Для нахождения магнитной индукции в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направление магнитной индукции полей, создаваемых каждым проводником с током в отдельности, и сложим их геометрически:

Абсолютное значение магнитной индукции В может быть найдено по теореме косинусов:

(1)

где  - угол между векторами .

Значение магнитных индукций (здесь и далее, если не указана среда, имеется в виду, что проводник находится в вакууме и, следовательно, =1), выражаются соответственно через силу тока I и расстоянии r₁ и r₂ от проводов до точки А: .

Подставляя выражения В₁ и В₂ в формулу (1) и вынося за знак корня, получим:

(2)

Вычислим cos. Заметив, что  = DAC (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запишем

d² = ,

где d – расстояние между проводами. Отсюда

После подстановки числовых значений получим

Подставляя в формулу (2) значения входящих величин, определяем искомую индукцию:

Проверка размерности:

.

Пример 7

По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной а = 10 см течет ток силой I = 100 A. Найти магнитную индукцию в точке 0 пересечения диагоналей квадрата.

Дано: Решение

a = 0,1 м

I = 100 А

В = ? I

0 o

a₁ r₀ a₂

_a

Рис.7

Расположим квадратный виток в плоскости чертежа (рис.7). Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция поля квадратного витка будет равна геометрической сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждой стороной квадрата в отдельности:

(1)

В точке 0 пересечения диагоналей все векторы индукции будут направлены перпендикулярны плоскости витка «к нам». Кроме того, из соображения симметрии следует, что абсолютные значения этих векторов одинаковы: В₁=В₂=В₃=В₄. Это позволяет векторное равенство (1) заменить скалярным равенством:

В = 4В₁. (2)

Магнитная индукция В₁ поля, создаваемого отрезком прямолинейного провода с током, выражается формулой

(3)

Учитывая, что ₂ =  - ₁ и cos₂ = -cos₁ (рис.9), формулу (3) можно переписать в виде

.

Подставив это выражение В₁ в формулу (2), найдем

.

Заметив, что r₀ = a/2 и cos₁ = ( так как ₁ = /4), получим

.

Подставив в эту формулу числовые значения физических величин, произведем вычисления:

.

Проверка размерности:

.

Пример 8

Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток силой I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) ₁ = 90⁰; 2) ₂ = 3⁰. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Дано Решение

:

а = 0,1 м ^а

I = 100 Ф I

B = 1 Тл

₁ = 90⁰

₂ = 3^{0 a} _I 

А ₁, А₂ - ?

Рис.8

Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент сил (рис.8)

М = _mBsin.

где _m – магнитный момент контура; В – магнитная индукция;  - угол между вектором , направленным по нормали к контуру, и вектором .

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю (М = 0), а значит,  = 0, т.е. векторы и совпадают по направлению. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота ), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме dA = Md. Подставив сюда выражения М по формуле (1), и учтя, что P_m = IS = Ia², где I – сила тока в контуре; S = a² – площадь контура, получим dA = IBa²sind. Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

. (2)

Работа при повороте на угол ₁=90⁰

(3)

Выразим числовые значения величин в единицах СИ: I = 100 A, B = 1 Тл, a = 10 см=0,1 м и подставим в (3):

А = 100^.1^.(0,1)² = 1 Дж.

Работа при повороте на угол ₂ = 3⁰. В этом случае, учитывая, что угол ₂ мал, заменим в выражении (2) sin  :

Выразим угол ₂ в радианах. После подстановки числовых значений величин в (4) найдем

А₂ = ^.1^.(0,1)^2.(0,0523)² Дж = 1,37^.10^-3 Дж = 1,37 мДж.

Проверка размерности:

=А^.Тл^.м² = .

Задачу можно решить и другим способом. Работа внешних сил по перемещению контура равна произведению силы тока на изменение магнитного потока через контур: А=IФ=(Ф₁–Ф₂), где Ф_{1 –} магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф₂ - то же после перемещения.

Если ₁= 90⁰, то Ф₁ = ВS, Ф₂ = 0_. Следовательно, A=IBS=IBa², что совпадает с полученным выше результатом (3).

Пример 9

Тонкое кольцо радиусом 10 см несет на себе равномерно распределенный заряд. Кольцо равномерно вращается с частотой 1200 об/мин вокруг оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости. Определить заряд на кольце, если индукция магнитного поля в центре кольца равна 3,8^.10^-9 Тл.

Д ано Решение

R = 0,1 м Магнитная индукция в центре

n = 1200 об/мин = 20 с^-1 кругового тока

B = 3,8^.10^-9 Тл

q = ?

.

Сила тока по определению

I = q/t.

За один оборот кольца, т.е. при t = Т сила тока

где .

Тогда

Полагая в формуле скорость вращения окружности кольца   r, где  = 2 n, получим искомый заряд

.

Проверка размерности:

q =

Пример 10

Определить индукцию магнитного поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящегося на расстоянии b = 20 cм от его середины. Сила тока, проходящего по проводу, I = 30 A, длина провода .

Дано: Решение

b = 0,2 м I a₀ a a_t

I = 30 A

ℓ ₀ = 0,6 м

=? ℓ ^dl

b r

A

Рис.9

Физическую систему составляют отрезок проводника с током и магнитное поле этого тока. Для определения индукции магнитного поля воспользуемся принципом суперпозиций.

Так как точка А, в которой необходимо определить расположена симметрично относительно концов провода, то можно определить - индукцию от каждой половины провода и умножить на 2, т.е.

. (1)

Индукцию магнитного поля найдем следующим образом: на расстоянии от середины провода выделим элемент с током d (рис.9), индукция которого, согласно закону Био-Савара-Лапласа,

(2)

Элемент с током d и рассматриваемая точка А находятся в одной плоскости, следовательно, выражение (2) можно записать в виде

, (3)

где  - угол между d и (рис.11). Учитывая, что

,

получаем

(4)

В связи с тем, что векторы индукции магнитного поля, создаваемого элементами с током d , совпадают по направлению ( направлен от нас), результирующее значение можно найти, интегрируя выражение (4):

(5)

где (6)

Индукция магнитного поля, создаваемого всем проводником, с учетом выражений (1), (5) и (6) будет равна

.

Проверка размерности:

.

Пример 11

Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U=400 В, попал в однородное магнитное поле напряженностью Н=10³А/м. Определить радиус R кривизны траектории и частоту n обращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля.

Д ано Решение

U = 400 В Радиус кривизны траектории электрона определим

H = 10³ A/м исходя из следующих соображений: на движущийся

в магнитном поле электрон действует сила Лоренца

R , n = ? (действием силы тяжести можно пренебречь).

Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости и, следовательно, сообщает электрону нормальное ускорение. По второму закону Ньютона можно записать F_л = ma_n, где a_n – нормальное ускорение или

(1)

где е – заряд электрона,  скорость электрона, В – магнитная индукция, m - масса электрона, R – радиус кривизны траектории,  - угол между направлением вектора скорости и вектором ( в данном случае  и  = 90⁰, sin  = 1).

Из формулы (1) найдем

R = m / . (2)

Входящий в равенство (2) импульс может быть выражен через кинетическую энергию Т электрона:

. (3)

Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется равенством

.

Подставив это выражение Т в формулу (3), получим:

.

Магнитная индукция В может быть выражена через напряженность Н магнитного поля в вакууме:

В = ₀Н.

где ₀ – магнитная постоянная.

Подставив найденные выражения В и m в формулу (2), определим

. (4)

Выразим все величины, входящие в формулу (4), в единицах СИ: m = 9,11^.10^-31 кг; - 1,60^.10^-19 Кл; U= 400 В; ₀ = 4^.10^-7 Гн/м; H = 10³ А/м. Подставим эти значения в формулу (4) и произведем вычисления:

Для определения частоты обращения воспользуемся формулой, связывающей частоту со скоростью и радиусом:

n =  /R 2. (5)

Подставив в формулу (5) выражение (2) для радиуса кривизны, получим

Все величины, входящие в эту формулу, ранее были выражены в единицах СИ. Подставим их и произведем вычисления:

Проверка размерности:

Пример 12

Электрон, разогнанный в электрическом поле напряжением 20 кВ, влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл. Вектор скорости образует угол 75⁰ с направлением вектора индукции. Определить форму траектории.

Д ано: Решение

U = 20 кВ

В = 0,1 Тл

 = 75⁰

R, h = ?

_

Рис.10

В поле электрон приобретает кинетическую энергию 20 кэВ, которая много меньше энергии покоя (511 кэВ), следовательно, в данной задаче это нерелятивная частица. Разложим скорость электрона на две составляющие: вдоль силовой линии = , поперечная составляющая = (рис.10). В продольном направлении на электрон никакие силы не действуют, поэтому вдоль оси аппликат электрон будет двигаться равномерно согласно уравнению

Z = z₀ + t=z₀ + .

В поперечном направлении (т.е. в плоскости xy) на электрон действует сила Лоренца, вследствие чего он движется в этой плоскости по окружности с радиусом

и с периодом Т = 2meB. В пространстве электрон движется по винтовой линии, которая навивается на силовые линии. Радиус окружности R указан выше. Шаг винта

.

Подставим исходные данные. Получается винтовая линия, навивающаяся на силовые. Параметры винтовой линии R = 23 мм, h = 39 мм.

Проверка размерности:

Пример 13

Проводник длиной = 1 м, по которому проходит ток I = 2A, согнут в форме полукольца и расположен в плоскости, перпендикулярно к направлению индукции магнитного поля В. Найти силу, действующую на этот проводник в магнитном поле. Как изменится величина этой силы, если полукольцо полностью разогнуть (остальные условия остаются теми же). Индукция магнитного поля В = 10^-5 Тл.

Дано: Решение

= 1м + + y + + + + + +

I = 2A + + + + + + + l +

В = 10^-5 Тл ¹ + + +

F , F₁ = ? + + _{а da} + + +

1

+ + ⁰ + + ^х

^{а) б)}

Рис.11

Физическую систему составляет проводник с током и созданное им магнитное поле. На элемент проводника , помещенный в магнитное поле индукцией , действует сила, которую определяют по формуле Ампера

. (1)

В данном случае угол между dl и B равен  (рис.11) и формулу (1) можно написать в виде dF = IBdℓ. Cилы, действующие на каждый элемент проводника с током, направлены по радиусам полукольца и лежат в одной плоскости. Выбрав координатные оси xy, как показано на рис.11а, найдем проекции сил:

dF_x = dFsin; dF_y = dFcos.

Результирующая сила, действующая на все элементы полукольца, будет определяться силой F_у, так как из соображения симметрии следует

.

значит,

. (2)

Элемент дуги dl = ld/, а угол  изменяется от -/2 до /2. Тогда

. (3)

Подставляя числовые значения в выражение (2), получаем F = 1,27^.10^-5H.

Если полукольцо полностью разогнуть, то силы, действующие на каждый элемент проводника, будут параллельным между собой (рис.11,б). Поэтому результирующая система, действующая на весь проводник,

. (4)

Подставляя в выражение (4), получим F₁=210^-5 H. Сравнивая числовые значения сил F и F₁, можно сделать вывод, что они зависят от формы проводника.

Проверка размерности:

.

Пример 14

Двухпроводная система состоит из коаксиально расположенных проводника радиусом R_I = 2 мм и тонкостенной цилиндрической трубы R₂ = 2 см (рис.12). Найти индукцию магнитного поля в точках, лежащих на расстояниях r₁ = 3 см, r₂ = 1 см от оси системы, при силе тока I = 10 А. Рассчитать магнитный поток, пронизывающий площадку S, расположенную в плоскости осевого сечения и ограниченную осью системы и одной из образующих цилиндра длины l = 1 м. Полем внутри металла пренебречь. Всю систему считать практически бесконечно длинной.

Дано: Решение

R ₁ = 2^.10^-3 м ^dS=ldr

R₂ = 2^.10^-2 м _I

r₁ = 3^.10^-2 м ^I

r₂ = 10^-2 м

I = 10 A

l = 1 м L L₁

В₁, В₂, Ф - ?

2R_l

2R₂

Рис.12

Можно предположить, что в пространстве внутри трубы направления линий индукции аналогичны направлению тока в осевом проводнике. В соответствии с этим выберем направление обхода контуров L₁ и L₂ так, чтобы оно составляло правовинтовую систему с осевым током I. Тогда во всех точках контура L₂  = 0, где  - угол между и . Тогда во всех точках контура L₁ угол  также постоянен и равен 0 или .

Из осевой симметрии следует, что модуль вектора В во всех точках каждого из контуров постоянен. Вычислим циркуляцию В₁ по замкнутому контуру L. Следовательно, левую часть равенства

(1)

можно записать в виде

(2)

С контуром L₂ cцеплен только осевой ток, т.е. = I, поэтому при подстановке второго из уравнений (2) в равенство (1) получим В2r = ₀I, откуда при R₁  r R₂

B = ₀I/(2r). (3)

С контуром L₁ сцеплены токи, текущие по осевому проводнику, и по трубе. Так как они направлены в разные стороны, то =0, поэтому при подстановке первого из уравнений (2) в равенство (1) получим

откуда при r  R₂

В = 0

При r = r₂ = 1 cм из выражения (3) получим В₂ = 2^.10^-4 Тл.

При r = r₁  R₂ получим В = 0.

При расчете магнитного потока сквозь площадку S cледует учесть, что согласно условию полем внутри металла (r₂ < R₂) можно пренебречь. Индукция поля в пределах от R₁ до R₂ рассчитывается по выражению (3). Вектор положительной нормали к площади S при заданном направлении тока нормален плоскости рисунка и сонаправлен с вектором В, поэтому в выражении

(4)

BdS = Bldr. Тогда, подставив выражение (3) в (4), получим

.

В подынтегральном выражении переменной является только расстояние r, изменяющееся в пределах от R₁ до R₂, и

Произведя интегрирование, получим

.

Проверка размерности:

.

Пример 15

В центре соленоида (длина l = 70 см, диаметр витков d = 7 см, число витков N₁ = 300) расположена катушка, состоящая из N₂ = 20 витков площадью S = 0,3 см² каждый. Плоскость витков катушки составляет угол  = 37⁰ c осью соленоида (рис.13). По обмотке соленоида течет ток силой I₁ = 4 A, по обмотке катушки – ток силой I₂ = 0,1 A. Определить: 1) вращающий момент, действующий на катушку в начальном положении; 2) работу, совершаемую силами поля при повороте катушки до положения устойчивого равновесия; 3) работу внешних сил при перемещении катушки (после поворота) из центра соленоида в середину одного из оснований.

Дано: Решение

= 0,7 м

d = 7^.10^-2 м

N₁=300 ^d

N₂ = 20

S = 0,3^.10^-4 м^{2 S }

 = 37⁰

I₁ = 4 A

I₂ = 0,1 A

Рис.13

M, A, A =?

Индукция магнитного поля в центре длинного соленоида

В₁= ₀I₁N₁/ . (1)

Заменив векторное уравнение скалярным соотношением и, подставив в него выражения и В , получим

М = .

Так как при обоих возможных значениях угла из выражения

sin ₁ = cos, то

В начальном положении поток, пронизывающий один виток катушки,

Ф₁ = В₁Scos₁,

причем в зависимости от ₁ cos₁ =  sin.. В положении устойчивого равновесия поток Ф₂ = В₂S. Подставляя выражение потоков Ф₁ и Ф₂ в

А = I(Ф₂ – Ф₁)

И учитывая (1) и то, что катушка содержит N₂ витков, получаем

А₁ = В₁SI₂N₂(1sin) = ₀I₁I₂N₁N₂S(1sin)/ .

Если ₁ = /2 - ,, то А ₁ = 0,5^.10^-7 Дж; если ₁ = /2+, то А₁ = 2,1^.10^-7 Дж.

Индукция поля в середине основания длинного соленоида

В₂ = 0I1N1 / 2 . (2)

Cледовательно, при перемещении катушки из центра соленоида в середину основания его поток, пронизывающий один виток, изменяется от Ф₁ = В₁S до Ф₂ = В₂S.

Работа внешних сил

А^ = - А₂ = I₂N₂(Ф₁ –Ф₂).

Подставим выражения для Ф₁ и Ф₂ с учетом (1) и (2) в (3)

А^ = ₀I₁I₂N₁N₂S / (2 )=6,5^.10^-8 Дж

Проверка размерности: А = А^.Вб = А^.В^.с = Дж.

Пример 16

В однородном магнитном поле (В = 0,1 Тл) равномерно с частотой n = 10 c^-1 вращается рамка, содержащая N = 1000 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S = 150 см². Определить мгновенное значение ЭДС индукции _i, соответствующее углу поворота рамки в 30⁰.

Д ано: Решение

В = 0,1 Тл

n = 10 c^-1

N = 1000

S = 1,5^.10^-2 м²

 = 30⁰

_i = ? 

S

Рис.14

Мгновенное значение ЭДС индукции _i определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла:

где - потокосцепление.

Потокосцепление связано с магнитным потоком Ф и числом N витков, плотно прилегающих друг к другу, соотношением

= NФ.

Подставляя выражения в формулу (1), получим

(2)

При вращении рамки (рис.14) магнитный поток Ф, пронизывающий рамку в момент времени t, определяется соотношением Ф = ВScost, где В – магнитная индукция, S - площадь рамки;  - круговая (или циклическая) частота.

Подставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции

_i = NBS sin t . (3)

Круговая частота  связана с частотой вращения n соотношением

 = 2n.

Подставляя значения  в формулу (3), получим

(4)

Выразив значения величин, входящих в эту формулу, в единицах СИ t = 10 c^-1, N = 10³, B = 0,1 Тл, S = 1,5^.10^-2 м², t = 30⁰ = 6 и подставив их в формулу (4), произведем вычисления:

_i = 2^.3.14.10^.10^3.0,1^.1,5^.10^{-2 .}0,5 В = 47,1 В.

Проверка размерности:

.

Пример 17.

Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N = 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида.

Дано:	Решение
N = 1200 I = 4 А Ф = 610-6 Вб	Индуктивность L связана с потокосцеплением  и силой тока I соотношением . (1) Потокосцепление . (2)
L=? W=?

Тогда индуктивность

. (3)

Выразив все величины в единицах СИ, подставляя их значения в формулу (3) и произведем вычисления:

.

Энергия магнитного поля соленоида может быть вычислена по формуле

.

Подставляя в эту формулу выражение для индуктивности (3) и произведя вычисления, получим:

Проверка размерности:

.

Пример 18.

В однородном магнитном поле с напряженностью H расположен плоский проволочный виток таким образом, что его плоскость перпендикулярна к силовым линиям. Виток замкнут на гальванометр. Полный заряд, протекающий через гальванометр при повороте витка, равен q. На какой угол повернули виток? Произвести численный расчет для случая q = 9,5^.10^-3 Кл, площадь витка S = 0,1 м², сопротивление витка R = 2 Ом.

Д ано: Решение

q = 9,5^.10^-3 Кл

H = 10⁵ А/м 

S = 0,1 м²

R = 2 Ом

 = ?

_G

Рис.15

При повороте витка в нем возникает ЭДС индукции . На основании закона Фарадея

(1)

где Ф – изменение магнитного потока через плоскость витка, происшедшее за время t.. С другой стороны, по закону Ома

(2)

где  q – заряд, протекший через поперечное сечение провода, из которого сделан виток (через гальванометр), за время t.

Сравнивая равенства (1) и (2), получаем

(3)

Подсчитаем теперь изменение магнитного потока Ф (рис.15). В начальный момент, когда плоскость витка была перпендикулярна к силовым линиям магнитного поля, магнитный поток, пронизывающий плоскость витка, был равен

Ф₁ = ₀НS, (4)

где ₀ – магнитная постоянная. После поворота витка на угол  магнитный поток изменился до величины

Ф₂ = ₀НScos . (5)

Следовательно,

Ф = Ф₂ – Ф₁ = -₀НS(1 - cos). (6)

Подставив значения Ф из равенства (6) в уравнение (3) и учитывая, что в данном случае  q = q, получим

Подставим числовые значения, учитывая, что  надо выражать в вольтах, Ф – в веберах, Н – в амперах, S - в м², получим cos = - 0,5, откуда  = 120⁰

Проверка размерности:

.

Пример 19

Проволочный виток, имеющий площадь S = 10² см², разрезан в некоторой точке, и в разрез включен конденсатор емкостью С = 10 мкФ. Виток помещен в однородное магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны к плоскости витка. Индукция магнитного поля равномерно изменяется со скоростью 5^.10^-3 Тл/с. Определить заряд конденсатора.

Дано: Решение

S = 10^-2 м²

С = 10 мкФ

С Н

q = ?

Рис.16

Рассмотрим рис.16. На основании закона электромагнитной индукции Фарадея

Заряд конденсатора равен

q = C..

Окончательно получаем абсолютную величину заряда

Проверка размерности: .

Пример 20

В однорордном магнитном поле с индукцией В перпендикулярно силовым линиям расположен стержень длиной l. Стержень вращается с угловой скоростью  вокруг оси, проходящей через конец стержня и параллельно силовым линиям поля. Найти разность потенциалов между концами стержня.

Дано: Решение

B

L  Е

 

 = ?

х 

 х

а) б)

Рис.17

Стержень движется перпендикулярно силовым линиям магнитного поля, и в любом его малом участке возникает элементарная ЭДС

 = Вх,

где х – длина участка и ,  его скорость (рис.17а).

Разность потенциалов на концах есть сумма элементарных электродвижущих сил. Поскольку

 =  х,

то

 = В хх.

Суммирование можно произвести двумя методами:

а) интегрированием.Имеем

.

б) графически. Строим график напряженности индуцированного поля

Е = х = Вх.

Поскольку это линейная функция, то ее график имеет вид, показанный на рис.17б. Разность потенциалов численно равна площади под графиком:

Проверка размерности:

Пример 21

Электрический двигатель работает от аккумуляторной батареи с ЭДС 12 В. При полном затормаживании якоря по цепи течет ток 10А. Какова мощность двигателя при номинальной нагрузке, если сила тока при этом равна 3А?

Дано: Решение

 = 12 В Сила тока в цепи

I₀ = 10 A где  - ЭДС аккумуляторной батареи; R - сопротивление

I = 3 A цепи (включая внутреннее сопротивление аккумуляторов) и

P = ?  _инд - ЭДС индукции, возникающая в якоре при его вращении.

При заторможенном якоре  _инд = 0 и сила тока I =  /R, откуда находим сопротивление цепи. Мощность двигателя:

.

Подставляя исходные данные в расчетную формулу, получим:

Проверка размерности: Р = А^.В = Вт.