3.3.Анализ по доходу и риску набора операций

Пусть имеем набор несвязанных друг с другом операций Q[i], i=1..n . Каждая

операция имеет два показателя: доход m[i] и риск r[i]. Скажем, что i-я операция

доминирует (превосходит) j-ю, если m[i]>=m[j] и r[i]<=r[j] и хотя бы одно из

этих неравенств строгое. При выборе наилучшей операции стараются, чтобы доход

был больше, а риск меньше, поэтому ни при каком разумном выборе доминируемая

операция не может быть выбрана. Остаются недоминируемые операции. Они называются оптимальными по Парето. Заданы характеристики 6-и операций. Жирным шрифтом выделены доминируемые операции и подчёркнутым - недоминируемые, т.е.

оптимальные по Парето. Ниже описано начало координат

плоскости (r,m) : риск - по горизонтали вправо, доход - по вертикали вверх.

Доход и риск операций

1 2 3 4 5 6

доход xx<=20 14 3 15 10 11 8

риск xx<80 9 20 11 8 71 68

Анализ доходности и рискованности финансовых операций

4.1.Доходность и риск операции вероятностно характеризуемой

Финансовая операция называется рискованной, если она имеет хотя бы два исхода, неравноценных в системе предпочтений ЛПР (Лицо Принимающее Решения). Например, операция Q:(-2;10), означающая, что ЛПР может получить доход 10 или убыток -2, является рискованной. Операция H:(3;12) также является рискованной,

ибо даже получив доход 3, ЛПР будет недоволен - ведь мог бы получить 12 !

Однако количественно оценить риск возможно лишь если операция вероятностно

характеризуема, т.е. ее доход есть случайная величина (с.в.)- это предполагает возможность неоднократного повторения этой операции. Итак, пусть доход

от операции Q есть с.в., которую будем обозначать также как и саму операцию Q. Математическое ожидание M[Q] называют еще средним ожидаемым доходом,

а риск операции r отождествляют со средним квадратическим отклонением СКО,

т.е. квадратным корнем из дисперсии D[Q] . Задана с.в. дохода Q , находится

средний ожидаемый доход M[Q], дисперсия D[Q] и риск операции r. Вероятности

конкретных величин дохода - десятичные дроби с точкой вида 0.2 .

│ 33 │ 38 │ 42 │ 47 │ средний ожидаемый доход 41.40

Q: ├───────┼─────── дисперсия дохода 38.04

│ 0.3 │ 0.1 │ 0.1 │ 0.5 │ риск операции 6.17

Для уточнения распределения вероятностей можно провести пробную операцию.

После ее проведения вероятности могут стать совершенно иными и средний ожидаемый доход может значительно увеличиться. Если решение принимается по максимуму среднего ожидаемого дохода, то прибавка среднего ожидаемого дохода и есть максимальная стоимость пробной операции, при которой она еще оправдана

Найдём эту стоимость.

Первоначальные вероятности и характеристики операции

│ 33 │38 │ 42 │ 47 │ средний ожидаемый доход 41.40

Q: ├───────┼───────┼ дисперсия дохода 38.04

│ 0.30 │0.10│ 0.10 │0.50│ риск операции 6.17

Вероятности и характеристики операции после пробной операции

33 38 42 47 средний ожидаемый доход 45.60

Q: ├───────┼───────┼ дисперсия дохода 17.64

│ 0.10 │0.00│ 0.00 │0.90│ риск операции 4.20

4.2. Анализ по доходу и риску набора операций вероятностно характеризуемой

Задаём 4 операции по примеру (12,1/2)(3,1/2)(4,1/4)(10,1/4) т.е. в каждой

операции 4 возможных дохода - первое число в каждой паре скобок, второе число

в этой паре скобок - это вероятность этого дохода - какая-то правильная

дробь. Сумма всех вероятностей-дробей должна быть равна 1. Для каждой

операции подсчитаем средний ожидаемый доход m и среднее квадратическое отклонение - риск r. Каждая операция представляется в виде точки (r,m) на плоскость (риск - по горизонтали вправо, доход - по вертикали вверх) и выделено жирным шрифтом доминируемые операции и подчёркнутым - недоминируемые, т.е. оптимальные по Парето.

Доходы и вероятности средний ожидаемый

операций доход и риск операций

1-я операция (2,1/4)(6,1/4)(12,1/4)(20,1/4) 10.00 6.78

2-я операция (0,1/2)(4,1/4)(5,1/5)(20,1/20) 3.00 4.47

3-я операция (2,1/20)(6,1/4)(8,1/5)(22,1/2) 14.20 7.90

4-я операция (0,1/2)(4,1/4)(8,1/8)(32,1/8) 6.00 10.20

Нанесем средние ожидаемые доходы и риски на плоскость – доход о ткладываем по вертикали, а риски по горизонтали (см. рис.):

Получили 4 точки. Чем выше точка , тем более доходная операция, чем точка правее – тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. Точка доминирует точку , если Q΄ и r΄ и хотя бы одно из этих неравенств строгое. В нашем случае 3-я операция доминирует 2-ую, а 1-ую, 3-ю и 4-ую операции сравнивать нельзя, т.к. при переходе от первой операции к 4-ой с ростом риска растет доход. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций по Парето.

Пусть Q₁ и Q₂ две финансовые операции с эффективностями e₁, e₂ и рисками r₁, r₂ соответственно. Пусть t – какое-нибудь число между 0 и 1. Тогда операция Q_t=(1-t)Q₁+tQ₂ называется линейной комбинацией операций Q₁, Q₂. При движении от 0 к 1 операция Q_t изменяется от Q₁ до Q₂. Эффективность операции Q_t равна (1-t)e₁+te₂, с риском же дело обстоит сложнее.