7.3. Оцінка щільності та перевірка істотності кореляційного зв’язку

Поряд з визначенням характеру зв’язку та ефектів впливу факторів х на результат важливе значення має оцінка щільності зв’язку, тобто оцінка узгодженості варіації взаємозв’язаних ознак. Якщо вплив факторної ознаки на результативну значний, це виявиться в закономірній зміні значень зі зміною значень , тобто фактор своїм впливом формує варіацію . За відсутності зв’язку варіація не залежить від варіації .

Для оцінки щільності зв’язку статистика використовує низку коефіцієнтів з такими спільними властивостями:

1) за відсутності будь-якого зв’язку значення коефіцієнта наближається до нуля; при функціональному зв’язку — до одиниці;

2) за наявності кореляційного зв’язку коефіцієнт виражається дробом, який за абсолютною величиною тим більший, чим щільні­ший зв’язок.

Серед мір щільності зв’язку найпоширенішим є коефіцієнт кореляції Пірсона. Позначається цей коефіцієнт символом r. Оскільки сфера його використання обмежується лінійною залежністю, то і в назві фігурує слово «лінійний». Обчислення лінійного коефіцієнта кореляції r грунтується на відхиленнях значень взаємозв’язаних ознак і від середніх величин.

За наявності прямого кореляційного зв’язку будь-якому значенню відповідає значення , а відповідає Узгодженість варіації і схематично показано на рис. 7.3 у вигляді кореляційного поля зі зміщеною системою координат. Точка, координатами якої є середні і , поділяє кореляційне поле на чотири квадранти, в яких по-різному поєднуються знаки відхилень від середніх:

Квадрант
І	+	+
ІІ	–	+
ІІІ	–	–
ІV	+	–

Отже, для точок, розміщених у I та Ш квадрантах, добуток — додатний, а для точок з квадрантів II і IV — від’ємний. Чим щільніший зв’язок між ознаками і , тим більша алгебраїчна сума добутків відхилень Гранична сума добутків цих відхилень дорівнює

Рис. 7.3. Узгодженість варіації взаємозв’язаних ознак

Коефіцієнт кореляції визначається відношенням зазначених сум:

Очевидно, що при функціо­нальному зв’язку фактична сума відхилень дорівнює граничній, а коефіцієнт кореляції , при кореляційному зв’язку абсолютне його значення буде тим більшим, чим щільніший зв’язок.

На практиці використовують різні модифікації наведеної формули коефіцієнта кореляції. Для оцінки щільності зв’язку між кількістю внесених добрив та врожайністю зернових скористаємося однією з модифікацій зазначеної формули:

За даними табл. 7.2 Згідно з цими значеннями коефіцієнт кореляції становить 0,900, що свідчить про вагомий вплив кількості внесених добрив на врожайність зернових:

Коефіцієнт кореляції, оцінюючи щільність зв’язку, вказує також на його напрям: при прямому зв’язку — величина додатна, при зворотному — від’ємна. Знаки коефіцієнтів кореляції і регресії однакові, величини їх взаємозв’язані функціонально:

У нашому прикладі

Вимірювання щільності нелінійного зв’язку грунтується на співвідношенні варіацій теоретичних та емпіричних (фактичних) значень результативної ознаки . Як зазначалося в підрозд. 5.6, відхилення індивідуального значення ознаки від середньої можна розкласти на дві складові. У регресійному аналізі це відхилення від лінії регресії і відхилення лінії регресії від середньої .

Відхилення є наслідком дії фактора , відхилення  — наслідком дії інших факторів. Взаємозв’язок факторної та залишкової варіацій описується правилом розкладання варіації:

де — загальна дисперсія ознаки y; — факторна дисперсія; — залишкова дисперсія.

Очевидно, значення факторної дисперсії буде тим більшим, чим сильніший вплив фактора на . Відношення факторної дисперсії до загальної розглядається як міра щільності кореляційного зв’язку і називається коефіцієнтом детермінації:

.

За даними табл. 7.2 , звідки

Аналогічний результат дають такі обчислення:

Отже, коефіцієнт детермінації тобто 81% варіації врожайності зернових залежить від варіації кількості внесених добрив, а 19 % припадає на інші фактори.

Корінь квадратний з коефіцієнта детермінації називають індек­сом кореляції При лінійному зв’язку що підтверджують обчислення: Тому за відомим лінійним коефіцієнтом кореляції можна визначати внесок ознаки у варіацію ознаки Так, при можна сказати, що 36 % варіації залежить від варіації .

На таких самих засадах грунтується оцінка щільності зв’язку за даними аналітичного групування. Мірою щільності зв’язку є кореляційне відношення де — міжгрупова дисперсія, яка вимірює варіацію ознаки під впливом фактора , а — загальна дисперсія.

Оцінимо щільність зв’язку між глибиною розробки вугільних пластів і фондомісткістю видобутку вугілля (див. табл. 7.1). Розрахунки загальної та факторної дисперсій подано в табл. 7.3 та 7.4. Згідно з розрахунками загальна дисперсія становить 5,19, факторна — 3,86:

Кореляційне відношення , тобто 74,5 % варі­ації фондомісткості видобутку вугілля на шахтах регіону пояснюється варіацією глибини розробки пластів.

Таблиця 7.3