6.5. Статистична перевірка гіпотез

Статистична гіпотеза — це певне припущення щодо властивостей генеральної сукупності, яке можна перевірити, спираючись на результати вибіркового спостереження. Суть перевірки гіпотез полягає у тому, щоб визначити, узгоджуються чи ні результати вибірки з гіпотезою, випадковими чи не випадковими є розбіжності між гіпотезою і даними вибірки.

Найчастіше гіпотеза, яку належить перевірити, формулюється як відсутність розбіжності (нульова розбіжність) між невідомим параметром генеральної сукупності G і заданою величиною А, а тому її позначають Н₀. Зміст гіпотези записують після двокрапки, наприклад Н₀ : G = A.

Кожній нульовій гіпотезі протиставляють альтернативну Н_a. При формулюванні Н_a враховується вагомість відхилень (G – A): для додатних відхилень Н_a : G > a, для від’ємних — Н_a : G < A, для тих і інших — Н_a : G ¹ A.

Якщо вибіркові дані cуперечать гіпотезі Н₀, вона відхиляється. У противному разі, тобто коли ці дані узгоджуються з гіпотезею Н₀, вона не відхиляється. Спираючись на результати вибірки, статис­тична перевірка гіпотез неминуче пов’язана з ризиком прийняття помилкового рішення: ризик І — відхилення правильної нульової гіпотези, ризик ІІ — невідхилення нульової гіпотези, коли насправді правильною є альтернативна. Ці ризики конкуруючі, і зменшення ймовірності одного ( ) зумовлює збільшення ймовірності іншого ( ). Оскільки уникнути ризиків неможливо, а наслідки їх, як правило, різновагомі, то в кожному конкретному дослідженні прагнуть мінімізувати той ризик, який пов’язаний з більшими втратами. Ймовірності ризиків наведено в табл. 6.3.

Таблиця 6.3

Ймовірність ризиків помилкових рішень при перевірці гіпотез

Правильна	Прийнята гіпотеза
гіпотеза	Н0	Нa
Н0	1 – a	a
Нa	b	1 – b

Правило, за яким гіпотеза Н₀ відхиляється або не відхиляється (приймається), називається статистичним критерієм. Математичною основою будь-якого критерія є статистична характеристика Z, значення якої визначається за даними вибірки, а закон розподілу ві­домий. Кожне значення характеристики Z має певну ймовірність f (Z). Якщо вибіркове значення Z малоймовірне, гіпотеза Н₀ відхиляється.

Межу малоймовірності Z називають рівнем істотності a. Очевидно, що a — це ймовірність ризику І, а тому залежно від змісту гіпотези Н₀ і наслідків її відхилення рівень істотності визначають у кожному конкретному дослідженні. Звичайно вибирають один з рівнів a, для яких табульовані значення статистичних характерис­тик критеріїв Z_{1– a}. Це a = 0,10; 0,05; 0,025; 0,01.

Значення статистичної характеристики критерія Z_1– a поділяє множину вибіркових значень Z на дві частини: а) область допустимих значень і б) критичну область. Якщо вибіркове значення z потрапляє в критичну область, гіпотеза Н₀ відхиляється, якщо в область допустимих значень — не відхиляється. Саме тому значення Z_1– a називають критичним.

Залежно від того, як сформульована альтернативна гіпотеза, критична область може бути односторонньою (лівосторонньою чи правосторонньою) або двосторонньою (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Лівостороння та двостороння критичні області

Порядок перевірки статистичних гіпотез розглянемо на прикладі співвідношення середніх двох сукупностей. Припустимо, ведеться вибірковий контроль тривалості служби деталей одного виду, виготовлених за різними технологіями. Контролю піддано 5 деталей, виготовлених за старою технологією, і 4 — за новою, тобто n₁ = 5, n₂ = 4. Вибіркові оцінки середніх і дисперсій відповідно становили: = 580 год при = 308; = 612 год при = 329.

Різниця між середніми становить ( – ) = (612 – 580) = 32 год.

Потрібно визначити, чи істотні відхилення середніх, тобто чи зумовлені вони відмінностями технологій, чи випадкові. Нульова гіпо­теза формулюється на припущенні, що відхилення середніх випадкові Н₀: . Альтернативна гіпотеза передбачає, що нова технологія збільшує тривалість служби деталі: Н₀: . При такому формулюванні Н_a провaдиться одностороння (правостороння) перевірка.

Статистичною характеристикою гіпотези Н₀ : є нормоване відхилення середніх

,

яке підпорядковане розподілу Стьюдента з числом ступенів свободи k = n₁ + n₂ – 2.

У нашому прикладі k = 5 + 4 – 2 = 7; оцінка дисперсії s² = 408, a t = 2,37:

Перевіримо гіпотезу Н₀ проти Н_a з рівнем істотності a = 0,05. За даними табл. 6.4 критичне значення t , що менше від фактичного (t = 2,37). Отже, нульова гіпотеза Н₀: відхиляється, і з імовірністю 0,95 можна стверджувати, що нова технологія збільшує термін служби деталей.

При двосторонній перевірці гіпотези, коли Н_a: , використову­ють критичне значення для , наприклад при a = 0,05 це буде .

Таблиця 6.4

Значення квантилів t розподілу Стьюдента для a = 0,05

Число	Для інтервалу
ступенів свободи	двостороннього	одностороннього
4	2,78	2,13
5	2,57	2,01
6	2,45	1,94
7	2,38	1,89
8	2,31	1,86
10	2,23	1,81
15	2,13	1,75
20	2,09	1,73
30	2,04	1,70
	1,96	1,64

Отже, статистична гіпоте­за перевіряється в такій послідовності:

а) формулюють нульову Н₀ та альтернативну Н_a гіпо­тези;

б) вибирають статистичну характеристику Z, за значеннями якої перевіряють правильність гіпотези Н₀;

в) визначають рівень істотності a і відповідне йому критичне значення Z ; залежно від формулювання гіпотез Н₀ i Н_a критична область може бути одно- або двосторонньою;

г) за результатами вибір­ки розраховують фактичне (вибіркове) значення статистичної характеристики z, яке порівню­ють з критичним Z ; якщо Z > Z , гіпотеза Н₀ відхиляється, при Z < Z — не відхиляється.

Процедура перевірки гіпотез використовується при порівнянні вибіркових характеристик (середньої, частки, дисперсії) з відповід­ними нормативами, порівнянні характеристик двох вибіркових сукупностей, оцінюванні істотності розбіжностей двох розподілів, у дисперсійному та кореляційному аналізі.