Розрахунок параметрів лінійної регресії, теоретичних рівнів і залишкових величин

Номер гос­подарства	Кількість внесених добрив х, д.р	Урожайність зернових у, ц/га	ху	х2	Y	y – Y	(y – Y)2
1	1,1	23	25,3	1,21	24	–1	1
2	1,4	25	35,0	1,96	27	–2	4
3	1,2	26	31,2	1,44	25	1	1
4	2,0	33	66,0	4,00	33	0	0
5	1,5	27	40,5	2,25	28	–1	1
6	1,3	28	36,4	1,69	26	2	4
7	1,8	30	54,0	3,24	31	–1	1
8	1,7	32	54,4	2,89	30	2	4
Разом	12,0	224	342,8	18,68	224		16

Отже, рівняння регресії має вигляд

тобто кожний центнер внесених добрив (у перерахунку на діючу речовину) дає приріст урожайності в середньому 10 ц/га. Якщо добрива зовсім не вносити в грунт, урожайність зернових не перевищить 13,0 ц/га.

Рівняння регресії відбиває закон зв’язку між і не для окремих елементів сукупності, а для сукупності в цілому; закон, який абстрагує вплив інших факторів, виходить з принципу «за інших однакових умов». За цих умов очікувана врожайність зернових при внесенні добрив у обсязі 1,1 ц д.р. на 1 га становить Y = ц/га. Для інших значень факторної ознаки теоретичні рівні врожайності наведено в табл. 7.2. Вплив інших факторів, окрім х, зумовлює відхилення емпіричних значень від теоретичних в той чи інший бік. Відхилення (y – Y) називають залиш­ками і позначають символом . Залишки, як правило, менші за відхилення від середньої, тобто

У нашому прикладі

Відповідно загальна дисперсія врожайності

залишкова дисперсія

У невеликих за обсягом сукупностях коефіцієнт регресії схильний до випадкових коливань. Тому слід перевірити його істотність. При лінійному зв’язку істотність коефіцієнта регресії перевіряють за допомогою t-критерію (Стьюдента), статистична характеристика якого для гіпотези визначається відношенням коефіцієнта регресії до власної стандартної похибки тобто

Стандартна похибка коефіцієнта регресії залежить від варіації факторної ознаки залишкової дисперсії і числа ступенів свободи :

За даними табл. 7.2,

Отже, ц/га, а , що перевищує критичне значення Гіпотеза про випадковий характер коефіцієнта регресії відхиляється, з імовірністю 0,95 вплив кількості внесених добрив на врожайність зернових визнається істотним.

У разі потреби можна визначити межі випадкових коливань коефіцієнта регресії, тобто довірчі межі Для ймовірності 0,95 (t = 2,45) довірчі межі коефіцієнта регресії становлять

Важливою характеристикою регресійної моделі є відносний ефект впливу фактора на результат — коефіцієнт еластичності:

Він показує, на скільки процентів у середньому змінюється результат зі зміною фактора на 1%. У нашому прикладі тобто збільшення кількості внесених добрив на 1% спричинює приріст урожайності зернових у середньому на 0,8 %.

Коли зв’язок між ознаками і має характер відносної мінливос­ті, лінія регресії описується степеневою функцією яка зводиться до лінійного виду логарифмуванням Параметр b степеневої функції — це коефіцієнт еластичності, який харак­теризує відносний ефект впливу фактора на результат . До класу степеневих належать функції споживання, виробничі функції тощо.