7.4. Рангова кореляція

Взаємозв’язок між ознаками, які можна зранжувати, передусім на основі бальних оцінок, вимірюється методами рангової кореляції. Рангами називають числа натурального ряду, які згідно зі значеннями ознаки надаються елементам сукупності і певним чином упоряд­ковують її. Наприклад, експерти оцінили технічний та фінансовий стан семи підприємств галузі в балах за певними критеріями. Сумарні бали оцінок експертів наведено в табл. 7.6. Ранжування проводиться за кожною ознакою окремо: перший ранг надається найменшому значенню ознаки, останній — найбільшому.

Кількість рангів дорівнює обсягу сукупності. Очевидно, зі збільшенням обсягу сукупності ступінь «розпізнаваності» елементів зменшується. З огляду на те, що рангова кореляція не потребує додержання будь-яких математичних передумов щодо розподілу ознак, зокрема вимоги нормальності розподілу, рангові оцінки щільності зв’язку доцільно використовувати для сукупнос­тей невеликого обсягу.

Ранги, надані елементам сукупності за ознаками і , позначають відповідно та . Залежно від ступеня зв’язку між ознаками певним чином співвідносяться й ранги. При прямому функціональному зв’язку = , тобто відхилення між рангами отже, й сума квадратів відхилень При зворотному функціональному зв’язку де — число рангів. Якщо зв’язок між ознаками відсутній, являє собою середню арифметичну цих крайніх значень: . Це є максимальна сума квадратів відхилень рангів. Отже, за відсутності зв’язку

Спираючись на зазначену математичну тотожність, К. Спірмен запропонував формулу для коефіцієнта рангової кореляції:

.

Коефіцієнт рангової кореляції має такі самі властивості, як і лінійний коефіцієнт кореляції: змінюється в межах від –1 до +1, водночас оцінює щільність зв’язку та вказує на його напрям.

Визначимо коефіцієнт рангової кореляції за даними табл. 7.6.

Таблиця 7.6

Розрахунок коефіцієнта рангової кореляції Спірмена

№	Експертні оцінки, балів		Р а н г и
п/п	Технічний стан	Фінансовий стан
1	27	26	1	2	–1	1
2	30	25	2	1	1	1
3	38	30	6	4	2	4
4	36	32	5	5	0	0
5	33	28	3	3	0	0
6	42	37	7	7	0	0
7	35	33	4	6	–2	4
Разом	´	´	´	´	´	10

Сума квадратів відхилень рангів а коефіцієнт рангової кореляції

Значення коефіцієнта рангової кореляції свідчить про наявність прямого зв’язку між технічним і фінансовим станом підприємств галузі. Критичне значення коефіцієнта рангової кореляції (табл. 7.7) для рівня істотності = 0,05 і = 7 Отже, з імовірністю 0,95 істотність зв’язку доведено.

Таблиця 7.7

Критичні значення коефіцієнта рангової кореляції Спірмена при = 0,05

Обсяг вибірки	5	6	7	8	9	10	11	12
	0,900	0,828	0,714	0,642	0,600	0,563	0,527	0,497

Якщо два і більше елементів сукупності мають однакові значення ознаки, їм надається середній ранг. Нехай, наприклад, друге за величиною значення ознаки мають три елементи сукупності (№ 2, 3, 4), тоді всім їм надається ранг а щільність зв’язку оцінюється за формулою лінійного коефіцієнта кореляції.