Свойства двойного интеграла
Двойной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла. Отметим лишь основные из них:
1. Если функции
и
интегрируемы в области
,
то интегрируемы в ней их сумма и разность,
причем
.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:
3. Если
интегрируема в области
,
а эта область разбита на две непересекающиеся
области
и
,
то
.
4. Если
и
интегрируемы в области
,
в которой
,
то
.
5. Если в области
функция
удовлетворяет неравенствам
,где
и
некоторые действительные числа, то
,
где
– площадь области
.
Доказательства этих свойств аналогичны доказательству соответствующих теорем для определенного интеграла.
Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах
Пусть требуется вычислить двойной
интеграл
,
где область
—
прямоугольник, определяемый неравенствами
,
.
Предположим, что
непрерывна в этом прямоугольнике и
принимает в нем неотрицательные значения,
тогда данный двойной интеграл равен
объему тела с основанием
,
ограниченного сверху поверхностью
,
с боков — плоскостями
,
,
,
:
.
С другой стороны, объем такой фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла:
,
где
— площадь сечения данного тела плоскостью,
проходящей через точку
и перпендикулярной к оси
.
А так как рассматриваемое сечение
является криволинейной трапецией
,
ограниченной сверху графиком функции
,
где
фиксировано, а
,
то
.
Из этих трех равенств следует, что
.
Итак, вычисление данного двойного интеграла свелось к вычислению двух определенных интегралов; при вычислении «внутреннего интеграла» (записанного в скобках) считается постоянным.
Замечание. Можно доказать, что
последняя формула верна и при
,
а также в случае, когда функция
меняет знак в указанном прямоугольнике.
Правая часть формулы называется повторным интегралом и обозначается так:
.
Аналогично можно показать, что
.
Из выше сказанного следует, что
.
Последнее равенство означает, что результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования.
Чтобы рассмотреть более общий случай, введем понятие стандартной области. Стандартной ( или правильной ) областью в направлении данной оси называется такая область, для которой любая прямая, параллельная этой оси пересекает границу области не более, чем в двух точках. Другими словами, пересекает саму область и ее границу только по одному отрезку прямой.
Предположим, что ограниченная область
является стандартной в направлении оси
и ограничена сверху графиком функции
,
снизу — графиком функции
.
Пусть R{
,
}
— минимальный прямоугольник, в котором
заключена данная область
.
Пусть в области определена и непрерывна функция . Введем новую функцию:
,
тогда в соответствии со свойствами двойного интеграла
.
И, следовательно,
.
Поскольку отрезок
целиком принадлежит области
то, следовательно,
при
,
а если
лежит вне этого отрезка, то
.
При фиксированном можем записать:
.
Так как первый и третий интегралы в правой части равны нулю, то
.
Следовательно,
.
Из чего получаем формулу для вычисления двойного интеграла по области, стандартной относительно оси путем сведения к повторному интегралу:
.
Если область
является стандартной в направлении оси
и определяется неравенствами
,
,
аналогично можно доказать, что
.
Замечание. Для области
,
стандартной в направлении осей
и
,
будут выполнены оба последних равенства,
поэтому
По этой формуле осуществляется изменение порядка интегрирования при вычислении соответствующего двойного интеграла.
Замечание. Если область интегрирования не является стандартной (правильной) в направлении обеих осей координат, то ее разбивают на сумму стандартных областей и представляют интеграл в виде суммы интегралов по этим областям.
Пример. Вычислить двойной интеграл
по области
,
ограниченной линиями:
,
,
.
Решение. Изобразим на рисунке заданную область интегрирования.
Данная область является стандартной как относительно оси , так и относительно оси .
Вычислим интеграл, считая область стандартной относительно оси .
.
Замечание. Если вычислить интеграл, считая область стандартной относительно оси , мы получим тот же результат:
.
Пример. Вычислить двойной интеграл
по области
,
ограниченной линиями:
,
,
.
Решение. Изобразим на рисунке заданную область интегрирования.
Данная область является стандартной относительно оси .
.
Пример. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:
Решение. Изобразим на рисунке область интегрирования.
Из пределов интегрирования находим
линии, ограничивающие область
интегрирования:
,
,
,
.
Для изменения порядка интегрирования
выразим
как
функции от
и найдем точки пересечения:
,
,
.
Так как на одном из интервалов функция выражена двумя аналитическими выражениями, то область интегрирования необходимо разбить на две области, а повторный интеграл представить как сумму двух интегралов.
.