Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат

Осуществим в двойном интеграле , заданном в декартовой системе координат, замену переменных по формулам перехода к полярной системе координат: , . В этом случае подынтегральная функция будет зависеть от полярных координат и : . Пусть область такова, что любой луч, выходящий из начала координат и проходящий через внутреннюю точку области, пересекает границу не более, чем в двух точках . Линии, ограничивающие область , имеют уравнения , , где , . Такую область, применительно к полярной системе координат, будем называть правильной (см. рис.).

Поскольку предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения фигуры на элементарные, подобное разбиение можно осуществить с помощью лучей , проходящих через начало координат, и концентрических окружностей с центрами в начале координат. При пересечении двух окружностей радиусов , и лучей, проведенных под углами и , образуется элементарная криволинейная фигура . Ее, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, можно рассматривать как прямоугольник со сторонами , и , площадь которого .

Следовательно, двойной интеграл в полярных координатах имеет вид

.

Итак, если область является правильной применительно к полярным координатам, то вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двукратного интеграла по переменным и . Для расстановки пределов интегрирования из полюса проводят ограничивающие лучи и , записывают уравнения линий входа в область (AMВ) — и выхода из нее (АКВ) — . Тогда , .

Как правило, внешний интеграл вычисляется по переменной , а внутренний — по . На основании изложенного имеет место следующая формула вычисления двойного интеграла в полярных координатах:

,

при этом лучи и , и кривые , ограничивают фигуру , по которой осуществляется вычисление двойного интеграла.

Пример. Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной линиями: , , , .

Решение. Изобразим на рисунке заданную область интегрирования.

Если рассматривать данную область как стандартную относительно оси , то область интегрирования необходимо разбить на две области, а повторный интеграл представить как сумму двух интегралов, так как снизу функция выражена двумя аналитическими выражениями ( и ), то область интегрирования необходимо разбить на две области, а повторный интеграл представить как сумму двух интегралов. Аналогичная ситуация возникнет и для оси . При этом, как и в первом случае, так и во втором мы придем к необходимости нахождения достаточно сложных интегралов. Так как линиями, частично ограничивающими область , являются окружности, имеет смысл перейти к полярной системе координат.

Перейдем к полярным координатам по формулам:

, .

Тогда уравнение в полярных координатах запишется в виде:

.

Уравнение получит вид:

.

Ограничение в полярных координатах будет иметь вид:

.

Аналогично .

Подынтегральная функция примет вид: .

Область является правильной применительно к полярным координатам, следовательно, можем использовать формулу:

.

Получаем:

.