Вычисление криволинейных интегралов второго рода
Пусть линия задана параметрически
:
.
Тогда по определению дифференциала
Отметим начало дуги
точкой
,
конец — точкой
.
В этом случае говорят, что задано
направление перемещения по кривой от
точки
к точке
и тем самым указано направление
ориентирующего вектора
.
Покажем, что вычисление криволинейного
интеграла второго рода по линии
заданной параметрически, сводится к
вычислению однократного определенного
интеграла по параметру
:
А в случае плоской кривой, когда
,
последняя формула примет вид:
Замечание. Для плоской кривой,
заданной уравнением
,
криволинейный интеграл второго рода в
координатной скалярной форме сводится
к определенному интегралу по переменной
(Выбрана ориентация , при которой , соответствуют началу и окончанию пути интегрирования.)
Если кривая
задана уравнением
,
,
то при соответствующей ориентации
интегрирование по переменной
будет осуществляться от
до
:
.
Пример. Вычислить
,
где
—
отрезок прямой с началом в точке
и концом в точке
.
Решение. Изобразим на рисунке линию интегрирования.
Воспользуемся формулами параметрических
уравнений прямой с направляющим
вектором
,
проходящей через начальную точку с
координатами
:
Запишем параметрические уравнения
прямой, которой принадлежит отрезок
,
приняв за направляющий вектор прямой
вектор
.
.
Начальной точкой отрезка
является
точка
.
Следовательно, параметрические уравнения
этой прямой:
Из полученных уравнений находим, что
точке
соответствует значение параметра
,
а точке
значение
.
По определению дифференциала
Подставляя в интеграл значения
и
,
а также учитывая значения параметра
и
,
соответствующие началу и концу дуги
,
получим:
.
Пример. Вычислить
,
где
—
отрезок прямой с началом в точке
и концом в точке
.
Решение. Изобразим на рисунке линию интегрирования.
Воспользуемся формулами параметрических уравнений прямой с направляющим вектором , проходящей через начальную точку с координатами :
Запишем параметрические уравнения
прямой, которой принадлежит отрезок
,
приняв за направляющий вектор прямой
вектор
,
т. е.
.
Начальной точкой отрезка
является
точка
.
Следовательно, параметрические уравнения
этой прямой:
Из полученных уравнений находим, что точке соответствует значение параметра , а точке значение .
По определению дифференциала
Учитывая, что
и
,
подставляем в интеграл только значения
и
,
а также значения параметра
и
,
соответствующие началу и концу дуги
.
Пример. Вычислить
,
где
—плоская
кривая, являющаяся частью параболы
от точки
до точки
.
Решение. Изобразим на рисунке линию интегрирования .
Воспользуемся формулой:
В данном случае
соответствуют началу и окончанию пути
интегрирования,
,
следовательно:
.