Криволинейные интегралы второго рода Задача о вычислении работы переменной силы. Определение криволинейного интеграла второго рода

Напомним, что если сила постоянна (по величине и по направлению), а путь прямолинеен, то работа этой силы на заданном пути равна скалярному произведению векторов и : .

Пусть переменная сила действует вдоль кривой , меняясь при этом в каждой точке приложения как по модулю, так и по направлению, т.е. , где , , ― непрерывные вдоль данной кривой функции. При перемещении материальной точки вдоль данной кривой сила совершает некоторую работу .

Чтобы найти эту работу разобьем произвольным образом кривую на частей , длиной . В каждой части выберем произвольным образом точку , лежащую на кривой . Пусть ― единичный вектор касательной к кривой в точке . Тогда вместо участка можно приближенно рассматривать вектор , равный ему по длине и приблизительно по направлению, учитывая направление вдоль кривой.

Следовательно, ( если считать силу ( ) постоянной на участке ) элементарная работа силы на участке приближенно равна скалярному произведению:

.

Вся работа силы на криволинейном пути при­ближенно выражается формулой

.

Переходя к пределу при , где ― длина наибольшей из элементарных дуг , получаем точное значение работы

.

Если данная интегральная сумма имеет предел при , то он называется криволинейным интегралом второго рода от вектор - функции по кривой и обозначается

.

Таким образом, с механической точки зрения криволинейный интеграл второго рода есть работа переменной силы вдоль некоторой линии перемещения.

.

Отметим также, что определение криволинейного интеграла второго рода остается в силе и когда кривая замкнутая. В этом случае начальная и конечная точки совпадают. Криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру обозначается следующим образом:

.

Отметим два свойства криволинейного интеграла.

Свойство 1. Криволинейный интеграл определяется подынтегральным выражением, формой кривой интегрирования и указанием направления интегрирования. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл меняет знак на противоположный.

Свойство 2. Разобьем кривую интегрирования точкой на части и , тогда

.

Криволинейный интеграл второго рода в координатной форме

При определении криволинейного интеграла второго рода элементарная работа силы на участке находилась как скалярное произведение вектора и вектора, приближенно равного по длине и направлению участку . Вместо вектора , в качестве вектора, близкого к можно взять вектор , начало и конец которого совпадают с началом и концом участка .

Найдем скалярное произведение векторов и в координатной форме как сумму произведений соответствующих координат:

Переходя к пределу при , где ― длина наибольшей из элементарных дуг , получаем точное значение работы

.

Следовательно, криволинейный интеграл второго рода в скалярной координатной форме имеет вид:

или, в более краткой форме

.