5.2. Практичні задачі на відбиття – заломлення

плоских хвиль

Нехай два пружних півпростори (1 і 2) знаходяться у жорсткому контакті один з одним. Властивості півпросторів будемо характеризувати сталими V_p1, V_s1,₁ і V_p2, V_s2,₂, причому.

Площина Z=0 співпадає з границею розділу півпросторів 1 і 2, а вісь Z спрямуємо з середовища 1 в середовище 2.

У випадку нормального падіння плоскої поздовжньої хвилі виникають тільки поздовжні вторинні хвилі, а у випадку нормального падіння поперечної хвилі виникають тільки поперечні вторинні хвилі.

Нехай з середовища 1 на границю Z=0 нормально падає поздовжня Р₁монохроматична хвиля

,

В результаті відбиття – заломлення на границі Z=0 виникає відбита P₁₁ і заломлена Р₁₂ поздовжні хвилі (рисунок 5.1). Для потенціалів відбитої і заломленої хвилі маємо представлення

(5.11)

де невідомими є амплітуди.

Формула (5.11) виписана з таким розрахунком, щоб потенціали задовольняли своєму хвильовому рівнянню і щоб плоскі хвилі, що збуджувалися на границі розділу, розповсюджувалися би в бік від цієї границі. Цього вимагає рахунок умов випромінювання, яке при коливаннях, які встановилися, замінюють нульові початкові данні.

Потенціали мають також задовольняти граничним умовам, тільки в тому випадку рішення задачі буде коректним (єдиним). Граничні умови, які вимагають неперервності векторівіпри переході через границю розділу Z=0 на підставі (5.1), (5.2), (5.8) зaписується у такому вигляді

, (5.12)

(5.13)

Підставляючи (5.11) і маючи Z=0, отримаємо

(5.14)

(5.15)

(5.16)

З врахуванням (5.14) рівність (5.16) матиме вигляд

З цього виразу легко знайти відношення А₁/А₀ , тобто коефіцієнт відбиття. Виражаючи його через, отримаємо

або

(5.17)

де

Для визначення коефіцієнта проходження (заломлення) підставимо в (5.16) значення А₁ з (5.15). Після перетворення, позначаючи А₂/А₀через, отримаємо

(5.18)

А₀, А₁і А₂– амплітуди потенціалів відповідно падаючої, відбитої та заломленої хвиль. Тому коефіцієнтиіє коефіцієнтами відбиття-заломлення по відношенню до потенціалів. Нас же цікавлять коефіцієнти відбиття – заломлення по відношенню до зміщень. Знайдемо ці коефіцієнти, позначивши їх черезі.

Потенціал падаючої хвилі

Тому вектор зміщення падаючої хвилі на підставі (5.3) буде

(5.19)

Відповідно для векторів зміщення відбитоїзаломленої хвиль, враховуючи (5.11), отримаємо

(5.20)

Позначимо амплітуди зміщень падаючої, відбитої і заломленої хвиль відповідно через U₀, U₁, U₂, тоді, беручи до уваги (5.19) і (5.20),

Звідси маємо

(5.21)

(5.22)

Підставляючи в (5.21) і (5.22) із (5.17) і (5.18), остаточно отримаємо

(5.23)

(5.24)

З рівнянь що визначають коефіцієнти відбиття –заломлення, випливає ряд важливих наслідків. З (5.23) видно, що відбита хвиля з’являється завжди, якщо

Добуток густини середовища і швидкості розповсюдження хвилі в середовищі називають хвильовим опором (або акустичною жорсткістю) середовища. Відбиття хвилі відбувається на границі розділу хвильових опорів, заломлення – на границі розділу швидкостей, коли

Границі розділу хвильових опорів називаються відбиваючими границями, а границі розділу швидкостей – швидкісними границями. Оскільки густини гірських порід змінюються в значно більших границях, чим швидкості в них, швидкісні та відбиті границі зазвичай співпадають.

При нахиленому падінні на плоску границю складові вектора напруження (5.6) породжують складові вектора зміщення (5.7) над і під границею середовища. Причому, при падінні плоскої хвилі утворюється чотири вторинних хвилі: монотипні (по поляризації) відбита і заломлена хвилі та обмінні відбита та заломлені хвилі.

Наприклад, при падінні на границю Р хвилі під кутом _Рутворюється: відбита РР хвиля під кутом_Р,обміннаPSхвиля під кутом_S, заломлена РР хвиля під кутом_Рта заломлена обмінна хвиляPSпід кутом_S(рисунок 5.2).

Рисунок 5.2 – Нахилене падіння плоскої хвилі на границю двох середовищ

Співвідношення між кутами падіння та швидкостями розповсюдження пружних хвиль регламентується законом Снеліуса:

(5.25)

З цього закону, зокрема, випливає, що кут відбиття монотипної хвилі дорівнює куту падіння.

Швидкість, з якою точка перетину фронту хвилі з границею ковзає вздовж останньої, є позірною швидкістю і визначається законом Бендорфа:

. (5.26)

Ці два закони мають велике значення в геометричній сейсміці.