9.1 Міграція хвильового поля на основі рівняння в

перших похідних

Уникнути похибок описання моделі можна шляхом двомірного трасування променів на основі рівняння ейконалу. Але можливий і інший шлях - використання більш простого ніж (9.1) хвильового рівняння, яке дозволяє побудувати просту кінцево-різницеву схему продовження поля вниз, не накладаючи обмежень на геометрію середовища.

Приймемо за основу скалярне (відносно U(х,z,t)) хвильове рівняння

, (9.2)

де -вектор, модуль якого рівний швидкості пружних хвиль в даній точці середовища, а напрям коленіарно променям плоскої хвиліU(х,z,t). Принциповою відмінністю (9.2) від (9.1) є апроксимація хвильового поля суперпозицією плоских а не сферичних (дифрагованих) хвиль. Оскільки операція продовження поля вниз потребує його неперервності, умовою якого є відповідність поля рівнянню Лапласа

(9.3)

покажемо, що поле , яке описано рівнянням (9.2), задовольняє (9.3). Припустимо R=tV, тоді (9.2) запишеться у вигляді:

(9.4)

де -одиничні вектора у напрямкух,zта поширення хвилі. Піддамо (9.4) дії диференціального оператораdiv(•)та, враховуючи, щоrоt rоtскалярного поля рівний 0, отримаємо

Таким чином, поле, яке відповідає рівнянню (9.2), може бути продовжене у нижній півпростір.

Для побудови кінцево-різницевої схеми продовження поля вниз піднесемо (2) у квадрат

(9.5)

Розпишемо вираз (9.5) через кінцеві різниці навколо точки U(х,z,t).

(9.6)

де x, t- кроки сітки поляU(х,0,t) z- крок, який дорівнює перерахунку поля по глибині.

Однак, рівняння (9.6), вирішене відносно U(х,z+z,t)буде давати коректне продовження поля вниз лише при постійності похідних похіt,оскільки володіє явно вираженою асиметрією. По положенню точок вибору значень поля у площинахx,0,tта z ,0,tназвемо таку схему Г-схемою. У випадку міграції реальних хвильових полів слід попіклуватися про симетрію вибірки відносно міграційної точки. Враховуючи, що при продовженні поля на рівеньz+zчас приходу вертикально збіжної хвилі зменшується на величинуі поклавши, що дозволяє проводити міграцію безпосередньо на планшеті завдання вихідного поля, отримаємо

(9.7)

Звідки випливає проста формула міграції поля U(х,z,t)

,

(9.8)

де .

Це Т-схема міграції .

Неважко бачити, що швидкість обчислювального процесу визначається, в основному, затратами часу на вилучення квадратного кореня з виразу (9.8). При міграції планшета NхN буде потрібно N рівней перерахунку, причому середнє число дискретів по t, на одному рівні змінюючись від N-1 до 1, складе N/2. Таким чином, для міграції необхідно виконати N³/2 вилучень квадратного кореня. Відмітимо, що міграція по Кірхгофу потребує N^зтаких самих операцій та додаткового поля зображення мігрованого розрізу NхN дискретів. Звідси очевидні переваги запропонованої кінцево-різницевої схеми міграції сейсмічного часового розрізу t₀на основі рішення хвильового рівняння в часткових похідних першого порядку.

2. Коректна міграція на співпряжених XZ

профілях

Серед методів ХZ- сейсморозвідки, запропонованої нами, одне з чільних місць посідає процедура коректної міграції хвильового поля, тобто продовження хвильового поля без необхідності попереднього завдання розподілу швидкості. Більш того, цей розподіл швидкості поширення пружних хвиль буде визначений в процесі міграції хвильового поляU(х,z,t), січення якогоU(х,0,t)таU(0,z,t), були зареєстровані на співпряжених горизонтальному та вертикальному профілях на польовому етапі ХZ-сейсморозвідки. Домовимося, що крок спостереження на вертикальному та горизонтальному профілях однаковий і значно менше довжини хвилі

,

а крок квантування сейсмічного запису , деV_m - максимальна очікувана швидкість поширення хвиль. Ці умови дозволяють нам в подальшому перейти від часткових похідних до кінцевих різниць при побудові обчислювальної схеми коректної міграції часового поля.

Міграцію будемо проводити на підставі хвильового рівняння в часткових похідних першого порядку (9.2), але більш складну в обчислювальному аспекті процедуру, можна побудувати і на основі звичайного хвильового рівняння

Розглянемо елементарний міграційний куб ,в якому позначимо вершини наступним чином:

Поле в шостій вершині будемо шукати за його значенням в п'яти попередніх. Для цього піднесемо до квадрату рівняння (9.2).

Рівняння (9.5) (до речі, зверніть увагу на його подібність до рівняння ейконалу) запишемо двічі через кінцеві різниці

(9.9)

(9.10)