4.5 Плоска хвиля

Припустимо, що функція U,яка задовольняє хвильовому рівнянню

(4.31)

залежить від трьох просторових координат х,у,zі часуt. Рішенням цього рівняння буде функція де

а коефіцієнти задовольняють співвідношенню

Дійсно

і функція є рішенням хвильового рівняння. Для довільного моменту всі точки пружного середовища, які належать площині мають однакову властивість U. Таке розповсюдження властивості U, що відбувається в напрямі нормалі до цієї площини з швидкістюа, називається плоскою хвилею.

4.6 Сферична хвиля

Хвильове рівняння в тримірному просторі припускає інші рішення, які, наприклад, мають сферичну симетрію.

Для цього в хвильовому рівнянні

припустимо, що шукана функція U залежить від двох змінних: віддалі r від точки збудження і часу t:

Для знаходження такого рішення перетворимо таке рівняння до сферичних координат. Враховуючи, що знайдемо

Отже,

Підставляючи в хвильове рівняння,

або

(4.32)

Порівнюючи отримане рівняння з одномірним хвильовим рівнянням (4.25), рішення якого нам відомо, загальне рішення для сферичної хвилі буде таким

(4.33)

Перша складова відповідає розбіжній сферичній хвилі, а друга – збіжній хвилі.

5 Хвилі на границях півпросторів

5.1 Відбиття та заломлення плоских хвиль на

границі двох середовищ

Встановимо залежність між амплітудами відбитої, заломленої і падаючої хвиль поблизу границь двох пружних середовищ. Співвідношення, що визначають амплітуди відбитих хвиль порівняно з амплітудою падаючої хвилі, називаються коефіцієнтами відбиття, а співвідношення, які визначають амплітуди проходячих хвиль порівняно з амплітудою падаючої хвилі – коефіцієнтами проходження (або заломлення).

Рішення задачі обмежимо випадком нормального падіння плоскої хвилі на плоску границю двох пружних середовищ.

У випадку нормального падіння фазові поверхні плоскої хвилі паралельні плоскій границі розділу (рисунок5.1). Розмістимо прямокутну систему координатx, y, z так, щоб площинаXOY співпадала з границею розділу. Вісьzспрямуємо вертикально вниз. Тоді, очевидно, достатньо розглянути хвильову картину в напрямку вісіz, так як в площині XOY і у всіх паралельних її площин зміщення знаходиться в однакових фазах і мають постійну величину. Таким чином у випадку нормального падіння хвильове поле залежить тільки від однієї просторової координатиz.

М

Рисунок 5.1 – Плоска хвиля на границі двох середовищ

1. Граничні умови та основні рівняння. Коливання середовищ, що мають граничні поверхні, залежать від режиму, який виконується на цих поверхнях. Умови на границяхреальних геологічних середовищ рахуються такими, що при переході через них залишаються неперервними значення векторів зміщення і напруження. Такі контакти середовищ називаються жорсткими.

Побудуємо в кожній точці М поверхніодиничну нормальта будемо розрізняти додатну (+) та від’ємну (-) сторони цієї поверхні. По різні боки від границівиберемо точки М⁺і М^-, нескінченно близькі до точкиМ. Тоді умови жорсткості контакту математично можна записати у вигляді

(5.1)

(5.2)

Знайдемо складові векторів зміщення і напруження для випадку, коли поле зміщення залежить від однієї просторової координати z.

Поле зміщення виражається через потенціалиіпо загальній формулі

в якій підпорядкований додатковій умові.

Для вектору зміщення поздовжньої хвилі отримуємо

(5.3)

Поле зміщення поперечної хвилі доцільно розглядати як накладання хвиль SViSH, тобто

.

Поперечна хвиля SV характеризується тим, що вона поляризована на площині променів. Якщо площиною променів є площина XOZ, то векторний потенціал хвилі SV має вигляд

тобто перпендикулярний площині променів .

Складова зміщення хвилі SV визначається на підставі формули

(5.4)

Поперечна хвиля SV поляризована в площині, яка перпендикулярна площині падіння. ЇЇ векторний потенціал лежить в площині падіння і представляється формулою

Складова зміщень хвилі SН визначається на підставі формули

(5.5)

Для визначення складових вектора напруження

на площинах z=const необхідно скористатися формулами

(5.6)

Відбиття – заломлення хвиль на границі розділу можна розкласти на два незалежних процеси: на відбиття – заломлення повздовжньої або поперечної SVхвиль, в результаті якого утворюються тільки повздовжні або поперечніSVхвилі, і на відбиття – заломлення поперечноїSН хвилі, в результаті якого утворюються хвилі тільки типуSН.

Якщо поле зміщень визначається поздовжніми і поперечнимипотенціалами, то, враховуючи формули (5.3) і (5.4), маємо для складових вектора зміщення

наступні формули

(5.7)

Підставляємо (5.7) в (5.6), отримаємо такі ж формули для складових вектора напруження

(5.8)

У випадку поля поперечної SН хвилі, що характеризується вектором зміщення (5.5), маємо

(5.9)

Підставляючи (5.9) в (5.6), отримаємо також формули для складових вектора напруження :

(5.10)