44.Формула Тейлора. Остаточный член ф форме Пеано
Имеем, что дифференцируемую функцию f(x) в окрестности точки x0 можно представить в виде f(x) = f(x0) + f’(x0)(x − x0) + o(x − x0), x → x0,т.е. существует многочлен первой степени P1(x) = f(x0) + A · (x − x0), такой, что при x → x0 имеет место равенство f(x) = P1(x) + o(x − x0), причем многочлен P1(x) удовлетворяет условиям P1(x0) = f(x0), P’1(x0) = f’(x0). Поставим более общую задачу. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в этой точке n производных f’(x0), f’’(x0), . . . , f(n)(x0). Найдем многочлен Pn(x) степени не выше n, такой, что f(x) = Pn(x) + o((x − x0)n), x → x0, (1), Будем искать многочлен Pn(x) в виде Pn(x) = A0 + A1(x − x0) + A2(x − x0)2+ . . . + An(x − x0)n Отсюда, дифференцируя, последовательно находим: P’n(x) = A1 + 2A2(x − x0) + 3A3(x − x0)2+ . . . + nAn(x − x0)n−1. P’’n(x) = 2 · 1 · A2 + 3 · 2 · A3(x − x0) + 4 · 3 · A4(x − x0)2+ . . . + n(n − 1)An(x − x0)n−2, P(n)n (x) = n(n − 1)(n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1 · An. Tеперь получаем : f(x0) = Pn(x0) = A0 ⇒ A0 = f(x0); f’(x0) = P’n(x0) = A1 ⇒ A1 = f’(x0);
Теорема
12. Пусть функция f(x)
определена в некоторой окрестности
точки x0
и n
раз дифференцируема в ней. Тогда при x
→ x0
имеет место формула f(x)
= f(x0)
+ f’(x0)(x
− x0)
+
(x
− x0)2+
. . . +
(x
− x0)n
+ o((x
− x0)n)
, эта называется формулой Тейлора n-го
порядка с остаточным членом в форме
Пеано, где Rn(x)
=
= f(x) − Pn(x) = o((x − x0)n), x → x0 – остаточный член.
47.
Экстремум ф-ции.
Теорема
14. Пусть x0
является точкой экстремума функции
f(x), определённой в некоторой окрестности
точки x0.
Тогда либо производная f’(x0)
не существует, либо f’(x0)
= 0. оказательство. Действительно, если
x0
является точкой экстремума для функции
f(x), то найдётся такая окрестность V (x0),
что значение функции f(x) в точке x0
будет наибольшим, или наименьшим на
этой окрестности. Поэтому если в точке
x0
существует производная, то она, согласно
теореме Ферма равна нулю. геометрический
смысл теоремы 14 заключается в следующем:
в точках экстремума функции f(x)
касательная к её графику параллельна
оси абсцисс, если существует f’(x0)
= 0; параллельна оси ординат, если f’(x0)
бесконечна; существуют не совпадающие
левая и правая касательные, если f’(x0
− 0)
f’(x0
+ 0).Точки, в которых функция y
= f(x)
определена, а ее производная равна нулю,
или не существует, называют критическими.
Точки, в которых функция y
= f(x)
определена, а ее производная равна нулю,
называют стационарными. Теорема 15
(Первый достаточный признак существования
экстремума функции). Пусть x0
- критическая точка непрерывной функции
f(x).
Если f’(x)
при переходе через точку x0
меняет знак с «+» на «-», то x0
- точка локального максимума; если f’(x)
при переходе через точку x0
меняет знак с «-» на«+», то x0
- точка локального минимума; если f’(x)
при переходе через точку x0
не меняет знак, то x0
не является точкой локального экстремума.
Теорема 16 (Второй достаточный признак
существования экстремума функции).
Стационарная точка x0
функции
f(x),
дважды дифференцируемой в V
(x0),
является точкой локального минимума
если f’’(x0)
> 0, и точкой локального максимума, если
f’’(x0)
< 0. Теорема 17 (Третий достаточный
признак существования экстремума
функции).
Пусть
функция f(x)
n
раз непрерывно дифференцируема в точке
x0
и f’(x0)
= f’’(x0)
= . . . = f(n−1)(x0)
= 0,f(n)(x0)
0. Тогда: 1) еслиn
- чётное и f(n)(x0)
< 0, то x0
- точка локального максимума;
2) если n
- чётное и f(n)(x0)
> 0, то x0
- точка локального минимума;
3) если n - нечётное, то x0 - не является точкой локального экстремума.