31.Непрерывность ф-ции, имеющей производную.

Теорема 2. Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке. Доказательство. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x₀, т.е y = A ·x + o(x),x → 0.= A+= 0, что и означает непрерывность функции f(x) в точке x₀.

Следствие 1. Если функция в некоторой точке имеет производную, то она и непрерывна в этой точке. Обратим внимание на то, если функция в точке имеет бесконечную производную, то она может быть разрывной в этой точке. Заметим, что утверждение, обратное теореме 2, неверно, т.е. из непрерывности функции f(x) в данной точке не следует ее дифференцируемость.

32.Геометр.смысл. произв. Физ. Смысл. Произв. Рассмотрим задачу о проведении касательной к произвольной плоской кривой. Пусть L – дуга плоской кривой, M₀ –точка этой кривой, M₀M – секущая. Если точка M движется по кривой к точке M₀,то секущая поворачивается вокруг точки M₀ и стремится к некоторому предельному положению M₀T. Определение 4. Касательной к кривой L в точке M₀ называется прямая M₀T, которая представляет собой предельное положение секущей M₀M при стремлении по кривой точки M к точке M₀.Если предельного положения секущей не существует, то говорят, что в точке M₀ провести касательную нельзя. Это бывает в случае, когда точка M₀ является точкой излома или заострения кривой. Пусть кривая L является графиком функции f(x) и точка M₀(x₀, f(x₀)) ∈ L. Предположим, что касательная к кривой в точке M₀ существует. Угловой коэффициент секущей M₀M k = tg =. Еслиx → 0, то точка M движется по кривой к точке M₀ и секущая M₀M стремится к своему предельному положению M₀T. Таким образом, k = tg α ===f ’(x0). (1) т.е. если кривая L является графиком функции f(x), то из равенства (1) следует геометрический смысл производной: производная от функции f(x) при x = x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x . Тогда уравнение касательной y − f(x0) = f’(x0)(x − x0)или y − y0 = f ’(x0)(x − x0) (2).Заметим, что в правой части уравнения (2) стоит дифференциал, поэтому геометрический смысл дифференциала состоит в следующем: дифференциал - это приращение ординаты касательной.физика: Рассмотрим функцию y = f(x), определенную и непрерывную в некоторой окрестности точки x0. Если аргумент x0 функции получает приращение x (положительное или отрицательное), такое, что x0+x принадлежит той же окрестности точки x0, то соответствующее приращение функцииf(x0) = f(x0 +x) − f(x0), средняя скорость изменения функции v_ср =, а мгновенная скорость ее изменения v ==f ’(x0) В этом состоит механический смысл производной, т.е. производная -математическая модель мгновенной скорости процесса, описываемого функцией f(x). В зависимости от содержательной сущности функции можно получить широкий круг математических моделей скорости протекания процессов. Рассмотрим некоторые из них. 1. Пусть материальная точка M движется неравномерно и y = s(t) – функция, устанавливающая зависимость пути от времени t. Тогда мгновенная скорость движения в момент времени t₀ есть производная от пути s по времени t: v =|_t=t0 ==

33. Правила вычисления производных. Теорема 3. Если функции f : X → R, g : X → R дифференцируемы в точке x ∈ X, то а) их сумма дифференцируема в x, причем (f + g)’(x) = (f’+ g’)(x); б) их произведение дифференцируемо в x, причем (f · g)’(x) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x); в) их отношение дифференцируемо в x, если g(x) 0, причем() ‘(x) =

Следствие 1. Производная от линейной комбинации дифференцируемых функций равна линейной комбинации производных этих функций. Следствие 2. Если функции f₁(x), f₂(x), . . . , f_n(x) дифференцируемы в точке x, то. (f₁ · f₂ · . . . · f_n)’(x) = f’₁(x) · f₂(x) · . . . · f_n(x) + f₁(x) · f’₂(x) · . . . · f_n(x) + . . . + f₁(x) · f₂(x) · . . . · f’_n(x).

Следствие 3.Из взаимосвязи производной и дифференциала следует, что теорема 3 может быть записана также через дифференциалы, т.е. а) d(f + g)(x) = df(x) + dg(x), в) d(f · g)(x) = g(x) · df(x) + f(x) · dg(x); с) d() (x) =, еслиg(x) = 0.

34. Дифференцирование композиции функций.

Теорема 4. Если функция f : X → Y ⊂ R дифференцируема в точке x, а функция g : Y → R дифференцируема в

точке y = f(x) ∈ Y , то композиция g ◦ f : X → R этих функций дифференцируема в точке x, причем

(g ◦ f)’(x) = g’(f) · f’(x).

35 Дифференцирование обратной функции.

Теорема 5 (О производной обратной функции). Пусть функции f: X→Y, f^-1: Y→X взаимно обратны и непрерывны в точках x₀ ∈ X и f(x₀) = y₀ ∈ Y соответственно. Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀ и f≠0, то функция f^-1 также дифференцируема в точке y₀ , причем (f^-1)’(y₀)=1/f’(x₀).

Доказательство. Из непрерывности f(x) в x₀ и f^-1в y₀ можно заключить, что при x→x₀ , x ∈ X имеем y = f(x) → y₀, y=f(x) ∈ Y и y=f(x)≠ y₀ , если x≠x₀ . Используя теперь теорему о пределе композиции функций и арифметические свойства предела, находим .

Таким образом, показано, что в точке y₀ функция f⁻¹ : Y→X имеет производную и (f^-1)’(y₀)=1/f’(x₀).

Замечание 1. Если бы заранее было известно, что функция f⁻¹ дифференцируема в точке y₀, то из тождества (f⁻¹○f)(x) ≡ x по теореме о дифференцировании композиции функции сразу бы нашли, что (f⁻¹)’ (y₀ )·f’(x₀) = 1.

Замечание 2. Теореме можно дать геометрическую интерпретацию. Как известно,=tgα, где α – значение угла, образуемого касательной графика функции f(x) в точке (x₀, y₀ ) с положительным направлением оси Ox, тогда

, где β – значение угла, образованного той же касательной с осью Oy. Действительно, поскольку β =−α, то

36 Производные элементарных функций.

а). Производная и дифференциал логарифмической функции. Пусть y = log _a x, где a > 0,a 1.Тогда y = log a (x +x) – log_a x = log _a(1 +).Следовательно, по определению y₀===log_a=log_a e=. Здесь воспользовались вторым замечательным пределом и непрерывностью логарифмической функции. Итак,y = log_a x ⇒ y₀=log_a e=⇒ dy =. б). Производная и дифференциал степенной функции Пустьy =(u(x))^α, α ∈ R. Рассмотрим вначале случай, когда u(x) > 0. Если u(x) > 0, то ln y = α ln u(x). Продифференцируем полученное равенство почленно по правилу дифференцирования сложной функции, считая y функцией от x: (ln y)’ = (α ln u(x))’ ⇒=⇒ dy =. Пусть теперь u(x) < 0. Представим функцию y = (u(x)) ^α в виде (−1)^α (v(x)) ^α , где v(x) > 0. Тогда y’= (−1)^αα(v(x))^α−1v’(x) = α(u(x))^α−1u’(x). Итак y =(u(x))^α

⇒ y’= α(u(x))^α−1u’(x) ⇒ dy = α(u(x))^α−1du(x).

37. Производные и дифференциалы высших порядков 1. Производные высших порядков.

Пусть f : X → Y функция, дифференцируемая в каждойточке x ∈ X. Ее производная в точке x есть некоторая функция g(x) = f’(x). Если функция g(x) дифференцируема, то имеет смысл определить ее производную g’(x) =(f’(x))’, которая называется второй производной функции f(x) и обозначается f’’(x). Таким образом, f’’(x) =(f’(x))’. Аналогично f’’(x) может оказаться дифференцируемой функцией в точке x, тогда f’’’(x)=(f’’(x))’ есть третья производная функции f(x). Точно так же, если в точке x определена производная порядка n−1 функции f(x), то производная порядка n или n-ая производная функции f(x) определяется формулой f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))’ , n=1,2,…

Отметим, что в формуле принято f⁽⁰⁾(x) = f(x), т.е. производная нулевого порядка есть сама функция.

Для n-ой производной функции f(x) применяются и другие обозначения: f⁽ⁿ⁾_xx…x(x), f⁽ⁿ⁾_xⁿ(x), .

Функция f(x) называется n раз дифференцируемой в точке x ∈ X, если в этой точке у нее существуют все производные до n-го порядка включительно.

Если f(x) дифференцируема n раз в каждой точке x ∈ X и f⁽ⁿ⁾(x) является непрерывной функцией на X, то f(x) называется n раз непрерывно дифференцируемой функцией или функцией класса C⁽ⁿ⁾[X]. Множество непрерывных функций, определенных на X, обозначается C[X]. Функция, имеющая производную любого порядка, называется бесконечно дифференцируемой.

2. Дифференциалы высших порядков.

Пусть функция f : X → Y дифференцируема и df = f’(x)dx - ее дифференциал. Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка, который обозначается d²f, то есть d²f = d(df). Дифференциал n-го порядка есть dⁿf = d(d^n-1f).

Если x – независимая переменная, а dx – постоянная (не зависит от x) и функция f имеет n производных, то, учитывая, что (dx)’=(dx)’’=…=(dx)⁽ⁿ⁾=0 последовательно находим: df=f’(x)dx, d²f=d(f’(x)dx)=(f’(x)dx)’dx=f’’(x)(dx)²=f’’(x)dx², … , dⁿf=d(f^(n-1)(x)dx^n-1)=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ.

Предположим теперь, что x есть некоторая функция параметра t, то есть x = ϕ(t), t ∈ T. Тогда f является сложной функцией f(ϕ (t)) и ее первый дифференциал, как известно, обладает свойством инвариантности формы. Покажем, что дифференциалы более высокого порядка в этом случае инвариантностью не обладают.

В самом деле, если x - независимая переменная, то d²f=f’’_xxdx².

Если же f = f(x), x = ϕ(t), то d²f=d(df)=d(f’_xdx)=df’_x^.dx+f’_x^.d(dx)=f’’_xxdx²+f’_xd²x,

что не совпадает с полученной выше формулой для d²f в случае независимой переменной.