12. Существование предела монотонной ограниченной последовательности

Определение 2.

Последовательность {xn} называется возрастающей (строго возрастающей) если xn+1 >= xn (xn+1 > xn) для ∀n ∈ N.

Последовательность {xn} называется убывающей (строго убывающей) если xn+1 <= xn (xn+1 < xn) для ∀n ∈ N.

Определение 3. Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.

Теорема 5 (Вейерштрасс). Для того чтобы неубывающая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху.

Доказательство. То, что любая сходящаяся последовательность ограничена, было доказано при рассмотрении общих

свойств предела последовательности.

Пусть {xn} неубывающая последовательность ограниченная сверху. Тогда множество {xn | n ∈ N} ограничено сверху.

Согласно основной лемме это множество имеет верхнюю грань a = supxn. По определению верхней грани для любого

ε > 0 найдется элемент xN ∈ {xn} такой, что a−ε < xN <= a. Поскольку последовательность {xn} неубывающая, то при любом n > N получаем a − ε < xN <= xn <= a, т.е. a − ε < xn < a + ε или |xn − a| < ε. Поэтому limxn = a. n→∞

13. Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности.

Теорема 6 (Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся под-последовательность.

Доказательство. Пусть X – множество значений ограниченной последовательности {xn}. Если X конечное множество,

то тогда очевидно найдется a ∈ X который будет повторяться в последовательности бесконечное число раз. Пусть он

повторяется под номерами n1 < n2 < ... < nk < ... Тогда последовательность {xnk} постоянна т.к. xnk = a, ∀k ∈ N и значит сходится.

Определение 1. Если x1, x2, . . . , xn, . . . – некоторая последовательность, а n1 < n2 < . . . < nk < . . . – возрастающая последовательность натуральных чисел, то последовательность xn1, xn2, . . . , xnk, . . . называется подпоследовательностью последовательности {xn}.

14 Предел функции. Эквивалентность определений по Коши и по Гейне.

Определение 1 (по Коши, или, на языке “ε – δ” ).

(y0 = limf(x), x→x0)⇔(∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − y0| < ε)

Определение 2 (по Гейне, или, на языке последовательностей).

Число y0 называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (или, при x → x0), если для любой последовательности точек xn ∈ V˙δ(x0), сходящейся к x0, последовательность соответствующих значений функции f(xn) сходится к y0:

(y0 = limf(x), x→x0)⇔(∀xn : limxn = x0, n→∞ ⇒ limf(xn) = y0, n→∞)

15. Общие свойства предела функции и арифметические операции.

Определение 3. Функция f : X → R называется финально постоянной при X 킈 x → x0, если она постоянна в некоторой проколотой окрестности V˙δ(x0) точки x0, предельной для множества X.

Определение 4. Функция f : X → R называется финально ограниченной при X э x → x0 если существует V˙δ(x0), что ∀x ∈ V˙δ(x0) будет |f(x)| < M, где M > 0.

Теорема 8.

а) Если y0 предел функции f(x) при x → x0, то f(x) финально ограничена при x → x0;

б) Если f(x) финально постоянна при x → x0 то она имеет предел в точке x0;

в) Если f(x) в точке x0 имеет предел, то этот предел единственный.

Теорема 9. Пусть f : X → R и g : X → R две функции с общей областью определения. Если limf(x) = y0, x→x0, limg(x) = y1, x→x0, то

а) lim(f(x) ± g(x))= limf(x) ± limg(x) = y0 ± y1; x→x0

б) lim(f(x) · g(x))= limf(x) · limg(x) = y0 · y1;

в) lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)= y0/y1 , если y1 =/ 0 и g(x) =/ 0 при x ∈ X.

а) Если функции f : X → R и g : X → R таковы, что limf(x) = y0, limg(x) = y1, x→x0 и y0 < y1 то найдется

проколотая окрестность V˙δ(x0) точки x0, в любой точке которой выполнено неравенство f(x) < g(x).

б) Если между функциями f : X → R, g : X → R и h : X → R на множестве X имеет место соотношение f(x) <= g(x) <= h(x) и если lim f(x) = limh(x) = y0, то существует также предел функции g(x) при x → x0, причем limg(x) = y0.