21 Непрерывность ф-ции в точке.

Интуитивное представление о непрерывной функции обычно связывают с такой функцией, график которой — непрерывная линия. Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если для любого заданного числа ε > 0 можно найти такое число δ = δ(ε, x₀) > 0, что для всех x, для которых |x − x₀| < δ, будет выполняться неравенство |f(x) − f(x₀)| < ε, или: ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε, x0) > 0 : ∀x |x − x₀| < δ ⇒ |f(x) − f(x₀)| < ε.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ если для любой числовой последовательности {x_n} такой, что x_n=x₀ будет f(x_n) = f(x₀). Так как x − x₀ = x – приращение аргумента, а f(x) − f(x₀) = y – приращение функции в точке x₀, то: Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если бесконечно малому приращению аргумента x соответствует бесконечно малое приращение функции y, т.е.y= 0. В некоторых случаях приходится пользоваться понятием односторонней непрерывности. Определение 4. Функция f(x), определенная в некоторой левой (правой) окрестности точки x0 называется непрерывной слева (справа) в точке x₀, если существует предел слева (справа) функции y = f(x) и он равен f(x₀). Другими словами:

f(x) непрерывна справа в точке x0 ⇒ ∃ f(x) = f(x0); f(x) непрерывна слева в точке x0 ⇒ ∃ f(x) = f(x0). Из определения односторонней непрерывности в точкеx₀ и свойств предела функции следует:

Теорема 1. Функция f(x), определенная в некоторой δ-окрестности точки x₀, непрерывна в точке x₀ тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа.

22 Точки разрыва функции.

Определение 5. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если выполняются следующие три условия:

1. функция f(x) определена в точке x₀, т.е. x₀ ∈ D(f)

2. существует

3. =f(x₀)

Если в точке x₀ нарушено хотя бы одно из условий 1)-3), то функция называется разрывной в точке x₀, а точка x₀ - точкой разрыва. Различают следующие случаи: I) если условие 2) определения 5 выполнено и при этом x₀ D(f) илиf(x₀) II) если условие 2) определения 5 нарушено, т.е. не существует но при этом существуют два конечных односторонних пределаf(x) = f(x₀ -0), f(x) = f(x₀+0), не равные друг другу, то точка x₀ называется точкой разрыва первого рода, а разность f(x₀ + 0) − f(x₀ − 0) – скачком функции f(x) в точке x₀;

III) если хотя бы один из односторонних пределов равен +или −или вообще не существует, то точкаx₀ называется точкой разрыва второго рода. Таким образом, при исследовании функции на непрерывность необходимо проверить выполнение условий определения 5. Если точка разрыва, то для установления характера разрыва необходимо вычислить односторонние пределы.

24 Огранниченность ф-ции непрер. На отрезке.

Определение 1. Функция f(x) непрерывная во всех точках некоторого множества X, называется непрерывной на этом множестве. Если X = [a; b], то для непрерывности функции на X требуется, чтобы f(x) была непрерывна во всех внутренних точках отрезка, непрерывна справа на левом его конце, т.е. в точке a, и непрерывна слева на правом его конце, т.е. в точке b. Теорема 4 (Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своих верхней и нижней граней.

Доказательство. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и пусть M = M как и всякая верхняя

грань непустого множества чисел, может быть либо конечной, либо бесконечной, равной +. Покажем, что M < +и что существует такая точка x0∈ [a; b], что f(x0) = M. Выберем какую-либо последовательность таких чисел a_n, n = 1, 2, . . ., что a_n = M, an < M, n = 1, 2, . . (1) Согласно определению верней грани функции для каждого a_n, n = 1, 2, . . . существует такая точка x_n ∈ [a; b], что f(x_n) > a_n, n = 1, 2, . . . (2). С другой стороны, поскольку M верхняя грань функции f(x), для всех точек x ∈ [a; b] справедливо неравенство f(x) M.(3) Последовательность {x_n} ограничена, так как a x_n b, n = 1, 2, . . ., поэтому по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся последовательность {x_nk}, и пустьx_nk=x₀. Так как a x_nk b, то a x₀ b. Из неравенств (2) и (3) следует, что a_nk < f(x_nk ) M, k = 1, 2, . . . (4). С другой стороны, в силу непрерывности функцииf(x) на отрезке [a; b] она непрерывна в точке x₀ этого отрезка и,

следовательно f(x_nk)=f(x₀). т.е. имеем M = f(x₀).

Таким образом, доказано, что верхняя грань M функции f(x) совпадает со значением функции в точке x₀ и, следовательно, конечна. Тем самым функция f(x) ограничена сверху и ее верхняя грань достигается в точке x0 ∈ [a; b].

Аналогично доказывается, что непрерывная на отрезке функция ограничена снизу и достигает на нем своей нижней грани.