4.5. Пересечение поверхностей (общий случай)

Линия пересечения двух поверхностей – это множество точек, одновременно принадлежащих обеим поверхностям. Следовательно, для построения линии пересечения необходимо определить общие точки данных поверхностей.

4.5.1. Каков алгоритм решения задачи на определение общих точек двух пересекающихся поверхностей?

Алгоритм решения задачи на определение общих точек двух пересекающихся поверхностей Ф₁и Ф₂(рис. 72) состоит в следующем:

1. заданные поверхности пересекают третьей вспомогательной поверхностью ;

2. находят линии пересечения m и n, по которым вспомогательная поверхность пересекает каждую из заданных:

  Ф₁= m;Ф₂= n.

3. отмечают точку А, в которой пересекаются полученные линии m и n: А=m n.

Повторяя алгоритм многократно, находят необходимое количество общих точек двух поверхностей для проведения линии их пресечения.

В качестве вспомогательных секущих поверхностей применяют такие, которые в пересечении с заданными дают линии, проецирующиеся на чертеж в графически простые линии – прямые, окружности.

При построении линии пересечения поверхностей вначале находят точки, которые называют характернымиилиопорными.

К характерным(опорным) точкам относятся:

– экстремальные точки: высшие и низшие, крайние правые и левые, ближайшие и наиболее удаленные от глаз наблюдателя;

– точки - границы видимости, которые отделяют видимую часть линии пересечения от невидимой.

4.5.2. Каков план решения задачи на построение линии пересечения поверхностей для общего случая?

План решения задачи на построение линии пересечения поверхностей включает:

а) определение вида заданных поверхностей;

б) выбор вспомогательных секущих поверхностей;

в) нахождение характерных (опорных) точек линии пересечения;

г) нахождение промежуточных точек;

д) построение проекций искомой линии с учетом её видимости.

К задачам второй группы (2 ГПЗ) относят задачи на построение линии пересечения:

а) двух плоскостей;

б) плоскости и поверхности (построение сечения);^*

в) двух криволинейных поверхностей.

4.5.3. Как построить линию пересечения двух плоскостей общего положения?

Линия пересечения двух плоскостей – это прямая, одновременно принадлежащая обеим плоскостям. Для ее определения достаточно найти две общие для заданных плоскостей точки, использовав алгоритм п. 4.5.1.

На рис. 73 изображены две пересекающиеся плоскости и. Для нахождения линии пересечения К₁К₂:

а) пересекаем обе заданные плоскости вспомогательными секущими плоскостями ₁и₂;

б) строим линии пересечения а₁и b₁, а₂и b₂плоскостейисоответственно с плоскостями₁и₂.

в) находим точки К₁и К₂:

К₁= а₁b₁, К₂= а₂b₂.

Полученные точки К₁и К₂определяют линию К₁К₂пересечения заданных плоскостей.

ПРИМЕР. Построить линию пересечения плоскостей (аb) и(cd) (рис. 74).

Анализируя заданные плоскости, отмечаем, что обе плоскости и– являются плоскостями общего положения. Следовательно, решаем 2 ГПЗ, общий случай.

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем точку К₁:

а) вводим вспомогательную секущую плоскость ₁(₁)₂;₁– ее основная проекция;

б) определяем линии пересечения m₁и m₂плоскости₁соответственно с плоскостямии. Так как плоскость₁₂, то фронтальные проекции m₁и n₁линий m₁и n₁совпадают с₁. С помощью точек 1, 2и 3, 4, принадлежащих прямым m₁и n₁, определяем горизонтальные проекции m₁и n₁этих прямых;

в) находим точку К₁. Сначала отмечаем горизонтальную проекцию К– К= 1234. С помощью линий связи находим точку К– К.

2. Определяем точку К₂:

а) вводим вспомогательную секущую плоскость ₂₂;₂₁;₂– ее основная проекция.

б) определяем линии пресечения m₂и n₂плоскости₂с каждой из заданных плоскостей: m₂=₂; n₂=₂.

Прямые m₂и n₂соответственно параллельны прямым m₁и n₁. Поэтому для определения их проекций достаточно найти только по одной точке, принадлежащей прямым m₂и n₂. На рис. 74 за такие точки приняты точки 5 и 6.

в) Находим точку К₂(K₂, K₂).

Точки К₁(К₁, К₁) и К₂(К₂, К₂) определяют искомую линию пересечения К₁К₂плоскостейи.

***

Форма большинства деталей приборов и устройств образована комбинацией различных тел вращения – цилиндров, конусов, сфер и т.д., расположенных в пространстве так, что поверхности их пересекаются между собой. Поэтому важным этапом конструирования таких деталей является определение границ исходных поверхностей, которыми и являются линии их пересечения.

Приемы построения линии пересечения поверхностей вращения зависят от расположения их между собой, а также от их положения относительно плоскостей проекций. Следует выделить:

1. пересечение соосныхповерхностей вращения, когда линия пересечения заранее известна;

2. пересечение поверхностей вращения, когда для построения точек линии пересечения необходимо использовать вспомогательные секущие поверхности (общий случай);

3. особыеслучаи пересечения поверхностей вращения.

Рассмотрим построение линии пересечения для каждого из этих случаев.