6.4.2. Как определить д.В. Сечения предмета плоскостью?

Для построения д.в. сечения предмета плоскостью необходимо:

1. провести анализ предмета, как совокупности геометрических тел его составляющих;

2. определить вид сечения, как совокупность сечений геометрических тел, составляющих предмет;

3. построить проекции сечения;

4. построить д.в. сечения, применив способ преобразования чертежа.

ПРИМЕР. Определить д.в. сечения предмета плоскостью () (рис. 105).

РЕШЕНИЕ.

1. Заданный предмет – совокупность прямой треугольной призмы и прямого кругового цилиндра.

2. Определяем вид сечения.

Заданная фронтально-проецирующая плоскость пересекает две боковые грани призмы и плоскости ее верхнего и нижнего оснований. Следовательно, в сечении призмы получаем плоскую фигуру, ограниченную четырехугольником. Заданная плоскостьнаклонна к оси цилиндра. Следовательно, в сечении цилиндра получаем плоскую фигуру, ограниченную эллипсом (неполным, т.к. плоскость пересекает не все образующие цилиндра). Вид сечения – сочетание четырехугольника и неполного эллипса.

3. Строим проекции сечения (рис. 105а).

а) Фронтальная проекция фигуры сечения совпадает с основнойпроекциейфронтально-проецирующей плоскости. Отмечаем точки 1, 2, 3, 4– вершины четырехугольника сечения и точки 5, 6, 7, 8, 9, ограничивающие неполный эллипс.

б) Находим горизонтальные проекции 1, 2,... 9отмеченных точек, используя линии связи и принадлежность их соответствующим поверхностям.

4. Строим д.в. сечения способом замены плоскостей проекций.

Новую плоскость ₄располагаем параллельно плоскостии перпендикулярно к плоскости₂. На чертеже проводим новую ось x₁и строим новые проекции 1^iv, 2^iv... 9^ivотмеченных точек, используя известные правила (см. п. 5.2.2). Построенные точки соединяем соответствующими линиями с учетом их формы.

Анализируя ход построения, можно заметить, что сечение может быть построено в любом месте чертежа, т.е. с нарушением про-

екционных связей, но с сохранением величин расстояний между точками 1, 2,... 9 и их взаимного расположения.

Для этого на свободном поле чертежа (рис. 105б) проводим прямую линию и отмечаем на ней точки 1, 2,... 9, расстояния между которыми равны расстояниям между фронтальными проекциями точек. 1-3 = 1-3; 3-7=3-7; 7-9=7-9Из отмеченных 1, 2,... 9 точек проводим линии, перпендикулярные к прямой 1-9 и находим точки 1₀, 2₀,...9₀. Положение каждой точки определяется разностями ординат точек Y₁-Y₂, Y₄-Y₃... Y₉-Y₃, что соответствует величине отрезков 12, 43и т.д. Построенные точки 1₀, 2₀,...9₀соединяем с учетом формы линий.

7. Комплексные задачи

Комплексныминазываются задачи, в которых на искомый элемент наложены два и более условий. Их решение выполняется в следующей последовательности.

1. Анализ задачи, цель которого выявление условий, наложенных на искомый элемент и тех геометрических фигур – множеств, каждое из которых в отдельности удовлетворяет одному из условий. Искомый элемент определяется, как результат пересечения выявленных множеств.

2. Составление алгоритма решения задачи.

3. Исследование, цель которого определение числа решений.

4. Графическое решение задачи.

ПРИМЕР 1. Через точку А провести прямую l, пересекающую скрещивающиеся прямые c и d (рис. 106а).

1. АНАЛИЗ.

Искомая прямая lдолжна удовлетворять двум условиям:

а) проходить через точку A и пересекать прямую l. Этому условию удовлетворяет множество прямых, которые образуют плоскость, определяемую прямой с и точкой А –(А, С);

б) проходить через точку А и пересекать прямую d. Этому условию удовлетворяет множество прямых, которые образуют плоскость , определяемую прямой d и точкой А –(А,d);

Искомая прямая l– результат пересечения выявленных множеств, т.е. двух плоскостейи.

2. АЛГОРИТМ.

а) Точка А и прямая с определяют плоскость (А, с) или(mc), причем mА (рис. 106б);

б) Точка А и прямая d определяют плоскость (A, d) или(nd), причем nА.

в) Находим линию l пересечения плоскостей (m c) и (nc).

3. ИССЛЕДОВАНИЕ.

Оба выявленных множества являются плоскостями, следовательно, задача имеет одно решение.

4. РЕШЕНИЕ.

Графическое решение задачи выполнено на рис. 106в. Линия lпересечения плоскостей проходит через точку А (общую для обоих плоскостей) и точку В, найденную с помощью вспомогательной плоскости() (см. п. 4.5.3).

ПРИМЕР 2. На прямой lнайти точки, отстоящие от точки А на 20 мм (рис. 107а).

1. АНАЛИЗ.

Искомые точки должны удовлетворять двум условиям:

а) принадлежать прямой l. Этому условию удовлетворяют все точки прямойl.

б) отстоять от точки А на 20 мм. Этому условию удовлетворяет поверхность сферы R = 20 мм с центром в точке А.

Искомые точки – результат пересечения прямой lсо сферой R=20 мм с центром в точке А.

2. АЛГОРИТМ.

а) строим сферу R = 20 мм с центром в точке А;

б) находим точки пересечения прямой со сферой.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ.

Задача может:

а) иметь одно решение, если прямая касается сферы;

б) иметь два решения, если прямая пересекает сферу;

в) не иметь решения, если прямая не касается и не пересекает сферу.

4. Графическое решение выполнено на рис. 107б.

а) Для нахождения точек пересечения прямой lсо сферой применен способ замены плоскостей проекций. При этом новая плоскость₄располагается параллельно прямойlи перпендикулярно незаменяемой плоскости проекций₁. На чертеже проводим ось x₁l.

б) Строим проекции прямой l(B, С) и сферы на новую плоскость₄.

Точки пересечения К и М прямой lсо сферой в новой системе x₁^4/₁строим с помощью вспомогательной плоскости(), проведенной через прямуюl. Плоскость, параллельная плоскости₄, пересечет сферу по окружности m(m, m^iv) радиуса R, которая проецируется на плоскость₄без искажения.

Точки К^ivи М^ivпересечения окружности m^ivрадиуса R с прямойl^iv– искомые проекции точек К и М в новой системе; с помощью линий связи определяем вначале точки Ки М, а затем Ки М.