4.5.7. В чем сущность способа вспомогательных сфер?

Особенности в пересечении соосных поверхностей вращения (см.п. 4.5.4.) позволяют выделить случаи, когда для построения линии пересечения поверхностей в качестве вспомогательных секущих поверхностей можно применить сферы, соосные с этими поверхностями вращения. В этих случаях заранее известно, что в пересечении сфер с заданными поверхностями вращения получаются окружности. На рис. 78 показана фронтальная проекция пересечения сферой радиуса R поверхностей вращения - конуса, тора, цилиндра, сферы, оси которых проходят через центр сферы и параллельны плоскости₂. Окружности, по которым пересекаются указанные поверхности вращения с поверхностью сферы, проецируются на плоскость₂в виде отрезков прямых. Это свойство используют для построения линии пересечения двух поверхностей вращения. При этом могут быть использованы концентрические и эксцентрические сферы. В данном разделе рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер – сфер с постоянным центром.

Способ концентрических сфер для построения линии пересечения двух поверхностей применяют при следующих условиях:

1. обе пересекающиеся поверхности – поверхности вращения;

2. оси поверхностей вращения пересекаются и лежат в плоскости параллельной плоскости проекций. В случае, если это условие не соблюдается, прибегают к способам преобразования чертежа (см. раздел 5). За центр вспомогательных сфер принимают точку пересечения осей тел вращения.

Пусть две поверхности вращения коническая Ф₁и цилиндрическая Ф₂с пересекающимися осями и общей фронтальной плоскостью симметрии заданы одной фронтальной проекцией (рис. 79а).

Чтобы построить точки, принадлежащие линии пресечения воспользуемся вспомогательной секущей сферой, центр которой находится в точке 0пересечения осей заданных поверхностей. В этом случае, согласно указанного выше свойства, сфера произвольного радиуса R с центром в точке 0пресечет поверхность Ф₁по окружности m(m), которая проецируется на плоскость₂в отрезок 12j₁, а поверхность Ф₂– по окружности n(n), которая проецируется на плоскость₂в отрезок 34j₂.

В пресечении двух окружностей m и n, принадлежащих одной сфере, получаем точки С и С₁искомой линии:

mn= СС₁.

Точка С лежит на видимой на фронтальной плоскости части поверхности Ф₁, а точка С₁– на невидимой ее части.

Величина радиуса вспомогательных секущих сфер изменяется в пределах от минимального радиуса Rmin до максимального Rmax. Они определяют область промежуточных сфер, с помощью которых можно получать точки линии пересечения поверхностей.

4.5.8. Как определить радиусы максимальной (Rmax) и минимальной (Rmin) вспомогательных секущих сфер?

Определение Rmax и Rmin показано на рис. 79 б для тех же пересекающихся Ф₁и Ф₂поверхностей вращения.

Сфера максимального радиуса(Rmax) – это сфера, радиус которой равен расстоянию от центра сфер до наиболее удаленной от него точки пересечения очерковых образующих поверхностей- Rmax = 0А;

Сфера минимального радиуса(Rmin) – это сфера, вписанная в одну поверхность и пресекающая другую. В данном примере для определения Rmin вписываем сферы в обе заданные поверхности. Радиус сферы R₁, вписанной в конус, равен отрезку перпендикуляра, опущенного из точки 0на его образующую. Радиус сферы R₂, вписанной в цилиндр, равен отрезку перпендикуляра, опущенного из точки 0на образующую цилиндра. За сферу минимального радиуса принимаем сферу радиуса R₁(Rmin = R₁), так как эта сфера коснется конуса по окружности m₁(m₁) и пересечет цилиндр по окружности n₁(n₁). Точки FF₁= m₁n₁принадлежат линии пересечения и являются экстремальными (крайними левыми) точками линии пресечения.

Примечание.

Сфера радиуса R₂коснется цилиндра, но не пересечет конус и потому не даст точек, принадлежащих линии пресечения.

На рис. 80 построена линия пересечения l(l,l) рассмотренных выше поверхностей Ф₁и Ф₂.

Сначала построены фронтальные проекции Аи Вопорных точек А и В, а затем – Си С₁, Fи F₁промежуточных точек С и С₁, F и F₁.

Для построения последних использованы вспомогательные концентрические сферы. Соединив фронтальные проекции указанных точек плавной кривой линией, получим фронтальную проекцию lлинии пересеченияl.

Относительно фронтальной плоскости проекций видимая часть линии пересечения А- С- F- Всовпадает с невидимой ее частью А- С₁- F₁- В, так как заданные поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии().

Горизонтальные проекции отмеченных точек построены по принадлежности их конической поверхности Ф с использованием окружностей - параллелей m, m₁.

Относительно горизонтальной плоскости проекций видима верхняя половина цилиндрической поверхности Ф₂, ограниченная очерковыми образующими b и d. Следовательно, видима часть линии пересеченияl, ограниченная точками М и М₁, принадлежащими этим образующим. Отмечаем фронтальные проекции точек М и М₁: М=ld, М₁= lb, а затем находим их горизонтальные проекции Ми М₁по принадлежности соответственно образующим dи b. М- С-А- С₁- М₁- видимая на горизонтальной плоскости часть линии пересечения; М₁- F₁- В- F- М– невидимая ее часть.

Соединив плавной кривой линией горизонтальные проекции отмеченных точек, получим горизонтальную проекцию lлинии пересеченияl. Построенные кривыеlиlобводим с учетом видимости: видимые линии сплошной основной толстой линией, невидимые – штриховой.