Сила Лоренца. Рух заряду в електричному та магнітному полі. Ефект Холла

Розглянемо дію магнітного поля на рухомі заряди на прикладі рухомого електрона.

На електрон, що рухається в магнітному полі з індукцією В, діє сила, перпендикулярна до напряму швидкості. Ця сила прямо пропорційна швидкості електрона. Аналогічно ведуть себе інші частинки, що рухаються у магнітному полі(але для позитивного сила була б напрямлена у протилежний бік).

Закон, що визначає силу F_m, що діє на точковий заряд q, що рухається у магнітному полі, отриманий узагальненням дослідів і виражається так:

де вектор В не залежить від величини заряду і його руху, а лише характеризує поле, в якому рухається заряд. Очевидно, що вектор F_m ортогональний до векторів швидкості та індукції, і F_m буде рівним нулю за умови їх колінеарності.

В електричному полі Е на заряд q діятиме сила E_e = qE. Якщо електричне та магнітне поля діють незалежно, то при сумісній дії електричного та магнітного полів виникає сила

F = F_e + F_m, тобто:

- сила Лоренца.

Ефект Холла. Нехай через металевий провідник в слабкому магнітному полі В протікає електричний струм. Магнітне поле буде відхиляти носії зарядів у напрямку, перпендикулярному до напряму протікання струму. Таким чином сила Лоренцо призведе до скупчення негативних зарядів з одної сторони провідника і позитивних з іншої. Це буде тривати, доки ел. поле E₁ не компенсує дію магнітної складової сили Лоренца:

eE₁ = evB, отже E₁ = vB. Швидкість електронів можна виразити через густину струму:

j = nev, nj,nj v = j/ne. Звідси

E₁ = (1/ne)jB. Коефіцієнт R_n = 1/ne називається сталою Холла і залежить від знаку носія заряду, що дозволяє визначити їх тип для більшості металів.

Повна енергія випромінювання диполя Герца. Опір випромінювання

Строге рішення рівнянь Максвелла для диполя Герца дозволяє знайти вираз для векторів H і E

Диполь Герца розташований в центрі сфери, вектор E направлений вздовж дотичної до “меридіану”, вектор H — вздовж дотичної до “широти”, вектор швидкості хвилі v — вздовж радіуса r. Амплітуда E і H  залежить від “широти” — кута , вона максимальна при  (“екватор”) і дорівнює нулю при  (на полюсі, вздовж осі диполя). Розглянемо енергію електромагнітної хвилі, яка випромінюється диполем Герца. Вектор Пойнтінга дає кількість енергії, що проходить за 1с через одиничну площадку на сфері. Напрям цього вектора співпадає з векторами r і v, тобто з нормаллю до поверхні сфери. Величина P дорівнює:

Розрахуємо тепер повну енергію, яка випромінюється диполем Герца по всіх напрямах за 1с, тобто потужність випромінення . Очевидно,, де інтегрування ведеться по поверхні сфери радіуса r:

тому як В тому випадку, колиНехай є генератор, що працює на частотіw, на виході якого підключений диполь Герца, випромінюючий середню потужність

(Генератор втрачатиме енергію на випромінення, для нього підключення диполя Герца еквівалентно включенню на виході деякого опору R_вип, в якому енергія генератору буде перетворюватися на тепло. Знайдемо цей опір R_вип Очевидно,

де I₀ — амплітудне значення сили струму в колі генератора. Але , деe — заряд металічних кульок, які утворюють диполь Герца, l — відстань між ними.

, .

Таким чином,

,

,

— знайдено залежність опору випромінювання від розмірів “антени” l та частоти генератора w. Формула наведена в системі Гауса. В системі СІ

опір одержуємо в омах.

СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ ЕНЕРГІЄЮ І МАСОЮ.

Якщо електромагнітна хвиля має імпульс і швидкість, то тому як імпульс дорівнює добутку маси на швидкість, можна електромагнітній хвилі приписати масу : для одиниці об’єму , звідки, . Для деякого об’єму  — це наслідок класичної електродинаміки,  — енергія,  — маса електромагнітної хвилі. Нехай є деякий замкнений об’єм довжиною L, який без тертя може рухатися вздовж осі x Маса об’єму — M. На правій частині об’єму є випромінювач електромагнітних хвиль. Він дає пакет хвиль, в результаті чого об’єм починає рухатися зі швидкістю U. Якщо енергія випромінених хвиль W, то їх імпульс W/c передається об’єму , закон збереження імпульсу , . Імпульс проходить відстань L за час , після чого поглинається стінкою зліва і рух переривається. Об’єм при цьому зміститься вздовж осі X на відстань: Однак, це зміщення об’єму здавалося би знаходиться в протиріччі з тим, що замкнена система не може рухатися під дією внутрішніх сил. Для розв’язання цього протиріччя треба припустити, що в об’ємі відбувся перерозподіл маси, при цьому центр мас залишився на місті, а деяка маса m перенесена справа наліво. З умови постійності координати центру мас при  випливає: , або , ,

Таким чином, зменшення енергії справа за рахунок випромінення електромагнітної хвилі супроводжується зменшенням маси на m. Зліва при поглинанні енергії хвилі маса зростає на m Наявність імпульсу електромагнітного поля повинна приводити до існування в будь-якій рухомій частинці додаткової, так званої електромагнітної маси. Така частинка створює в оточуючому просторі електричне і магнітне поля, з одиничним об’ємом цих полів буде пов’язаний імпульс . Прискорюючи частинку, ми повинні змінити імпульс електромагнітного поля, що означає існування додаткової маси  В якості прикладу обчислимо електромагнітну масу  для провідної кульки з радіусом R, зарядом e, яка рухається у вакуумі зі швидкістю

СИСТЕМА ОДИНИЦЬ ГАУССА.

Для опису електричних явищ більш фізичною і зручною є абсолютна електростатична система СГСЕ, а абсолютна електромагнітна система СГСМ зручніша для опису магнітних явищ. Перша з цих систем використовує закон Кулона для введення одиниці електричного заряду. При цьому діелектрична проникність середовища є величиною безрозмірною, для вакуума 1. Система СГСМ використовує закон Ампера для введення одиниці сили струму. У цій системі магнітна проникність середовища є величиною безрозмірною. В системі СГСЕ формули для електричний явищ мають найпростіший вигляд, але у формули для магнетизму ввійдуть множники, які містять швидкість світла с. І навпаки також зявляються множники. Гаусс запропонував систему одиниць, яка комбінує ці дві системи. В цій системі всі електричні величини(заряд, сила струму, напруженість електричного поля. Потенціал) вимірюються в системі СГСЕ,  - величина безрозмірна, для вакууму =1. Всі магнітні величини(вектор магнітної індукції, вектор напруженості магнітного поля, магнітний потік) вимірюються в системі СГСМ. В формулах для магнітних явищ в які входять електричні величини, зявляється множник, що рівний в СІ швидкості світла с. Основні величини СГС довжина – см, масса – г, час – с, заряд – безрозмірна, сила струму – безрозмірна, напруженість електричного поля – безрозмірна, потенціал - безрозмірна, мангнітна індукція – гаусси (Гс), магнітний потік – Мкс.

ЗНАЙТИ ЗВ'ЯЗОК ЕЛЕКТРИЧНОЇ І МАГНІТНОЇ КОМПОНЕНТ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ПОЛЯ.

Нехай пласка хвиля розповсюджується вздовж осі . Її фронт перпендикулярний до цієї осі. В цій площині значення характеристик хвилі — вектори  однакові, вони не залежать від  і , змінюючись в часі та в залежності від координати . Це значить, що частинні похідні по  і по  дорівнюють нулю. Будемо вважати, що  і , середовище, в якому розповсюджується хвиля, непровідне з постійними  і . Розписуючи по компонентах вздовж осей систему рівнянь Максвелла, отримаємо:     (1)     (4)-для осі Х(аналогічно Y,Z) Праву колонку рівнянь отримали, враховуючи, що всі частинні похідні по  і  дорівнюють нулю. З рівнянь (1) і (8) випливає, що  не залежить ні від часу, ні від  (і, звісно,  не залежить від  і ). Звідси випливає, що , тобто вздовж осі  може існувати тільки постійне електричне поле. Це поле ніяк не впливає на електромагнітну хвилю, пов’язану зі змінними полями. Тому без втрати загальності можна вважати, що З рівнянь (4) і (7) випливає, що . Аналогічно можна вважати, що .

Звідси випливає, що електромагнітна хвиля строго поперечна: вектори  і  перпендикулярні до швидкості хвилі : , , продольних складових у хвилі немає.

Об’єднаємо рівняння (2) і (6), а також (3) і (5): 

З

Рис. 7.5

цих систем випливає, що взаємопов’язані  і , а також  і , тобто взаємно перпендикулярні складові векторів  і . Наприклад, якщо вектор  направлений вздовж осі , тобто , , то з другої системи випливає, що , , значить, , . Аналогічно, якщо , , то з першої системи , . Це означає, що два вектори  і взаємно перпендикулярні,

Разом з поперековістю електромагнітної хвилі цей результат говорить про те, що три вектори , ,   утворюють ортогональну трійку векторів (рис. 7.5). Тепер з двох пар рівнянь можна вибрати одну , наприклад, першу, і випустити індекси  і :

пам’ятаючи при цьому, що три вектори , ,  ортогональні.

Як відмічалося вище, рішеннями одновимірних хвильових рівнянь будуть: , , де . Підставимо ці рішення в написане вище рівняння: , або:Тут штрихом позначена похідна по аргументу . Тому як  , то , або , , при цьому константа не залежить ні від координат , ні від часу , а тому можна вважати , що вона дорівнює нулю. Таким чином,  — співвідношення між величинами векторів  і . Для вакууму . Ми показали, що два вектори  і   змінюються в часі і в просторі без зсуву по фазі, тобто одночасно досягають екстремальних значень, проходять через нуль, змінюють свій знак. В системі СІ аналогічні викладки приводять до співвідношення , для вакууму , синфазність  і , природно зберігається.

Підсумовуючи розгляд властивостей біжучих електромагнітних хвиль, запишемо вираз для швидкості хвилі , відмітимо, що , , , , зсув по фазі між  і  дорівнює нулю.