§7.4. Виды и взаимоотношения формул и схем клв

В правой колонке таблицы истинности фиксируется множество истинностных значений общей формулы сложного высказывания. Это множество может состоять только из значений «истинно», в таком случае рассматриваемая формула есть формула сложного высказывания, которое является истинным при любых комбинациях истинностных значений входящих в него простых суждений.

• Пример

Таблица истинности суждения формы (((ab)(ca)(dc))(db)) свидетельствует о его безусловной истинности (рис. 8):

a	b	c	d	ab	ca	dc	db	(ab)(ca)(dc)	((ab)(ca)(dc))(db)
и	и	и	и	и	и	и	и	и	и
и	и	и	л	и	и	и	и	и	и
и	и	л	и	и	и	л	и	л	и
и	и	л	л	и	и	и	и	и	и
и	л	и	и	л	и	и	л	л	и
и	л	и	л	л	и	и	и	л	и
и	л	л	и	л	и	л	л	л	и
и	л	л	л	л	и	и	и	л	и
л	и	и	и	и	л	и	и	л	и
л	и	и	л	и	л	и	и	л	и
л	и	л	и	и	и	л	и	л	и
л	и	л	л	и	и	и	и	и	и
л	л	и	и	и	л	и	л	л	и
л	л	и	л	и	л	и	и	л	и
л	л	л	и	и	и	л	л	л	и
л	л	л	л	и	и	и	и	и	и

Рис. 8

Формулы КЛВ, принимающие значение “истинно” при любых наборах значений, входящих в их состав пропозициональных переменных, называются тождественно-истинными или законами КЛВ. Если же мы построим таблицу истинности (более компактным образом) применительно, например, к формуле ((ab)a)a), то обнаружим, что при всех истинностных значениях её подформул она является ложной, т. е. тождественно-ложной (рис. 9):

a	b		((a  b)		a)  a
и	и	л	и	и	и
и	л	л	л	л	и
л	и	л	и	и	и
л	л	л	и	л	и

Рис. 9

Формулы КЛВ, принимающие значение “ложно” при любых наборах значений входящих в их состав пропозициональных переменных называются тождественно-ложными или нарушающими законы КЛВ. Тождественно-истинные и тождественно-ложные формулы КЛВ выражают, соответственно, логически истинные и логически ложные высказывания. Высказывания же, которые не являются ни логически истинными, ни логически ложными, т. е. такие, значения которых невозможно установить, пользуясь исключительно логическими средствами, называют логически недетерминированными. Формулы, выражающие логически недетерминированные высказывания, относят к выполнимым. Выполнимой формулой КЛВ называется формула, принимающая значение «истинно» хотя бы при одном наборе входящих в неё пропозициональных переменных. Другими словами, в КЛВ имеются два типа формул: выполнимые, к которым относятся и тождественно-истинные формулы, и невыполнимые, к которым относятся только тождественно-ложные формулы.

• Пример

Выполнимой является схема: ((АВ)В)А (рис. 10):

А	В	((А  В)		В)  А
и	и	и	и	и
и	л	л	л	и
л	и	и	и	л
л	л	и	л	и

Рис. 10

Поскольку семантический метод таблиц истинности, позволяющий эффективно решать вопрос о логической истинности высказываний, тем не менее может приводить к громоздким построениям, то эффективно пользоваться аппаратом КЛВ можно при помощи синтаксического метода, т. е. посредством знания её наиболее известных законов (тождественно-истинных формул), а также — основных видов умозаключений, содержащих логическое следование.