Тема восьмая классическое исчисление высказываний

§8.1. Логический смысл исчислений

Рассмотренные выше логические теории (традиционная силлогистика, классическая логика высказываний, равно как и рассматриваемая далее классическая логика предикатов) отвечают на вопрос о правильности или неправильности конкретных рассуждений, выделяя среди них и подробно анализируя рассуждения дедуктивного типа, но не ставят и не решают вопроса о том, как собственно осуществляются какие бы то ни было дедуктивные рассуждения. На последний вопрос призвана отвечать теория дедуктивных рассуждений. Теория дедуктивных рассуждений — это теория последовательного пошагового дедуктивного перехода от исходных высказываний к последующим. Каждый шаг этого перехода осуществляется на основе какого-либо правила вывода (дедуктивного принципа), обеспечивающего отношение логического следования между исходными и всеми последующими суждениями. Теория дедуктивных рассуждений структурирует не только знание данного перехода (как в содержательных теориях), но и средство получения этого знания, т. е. является формальной теорией. В рамках теории дедуктивных рассуждений существуют теории, называемые исчислениями, содержание которых фиксируется на специально созданном символическом языке, а все допустимые преобразования строятся как преобразования одних последовательностей символов в другие. Исчисления могут иметь как аксиоматический характер, так и быть натуральными исчислениями, т. е. содержащими только правила вывода и не содержащими аксиом. Классическая символическая логика включает в себя две разновидности исчислений: 1) классическое исчисление высказываний; 2) классическое исчисление предикатов. Вначале рассмотрим натуральное исчисление высказываний как широко используемую в познавательных целях разновидность классических исчислений.

§8.2. Классическое натуральное исчисление высказываний. Правила вывода

Натуральное исчисление высказываний в отношении системы языка и определения правильно построенных выражений (формул) полностью совпадает с классической логикой высказываний. Но в отличие от последней теории, строящейся семантически (содержательно) и формулирующей в качестве принципов понятия логического закона и логического следования, натуральное исчисление высказываний вводит синтаксические (формализованные) аналоги указанных принципов в виде понятий теоремы и выводимости, а также правила вывода, позволяющие переходить от одних последовательностей символов к другим. По сути, основной задачей исчисления является осуществляемая на основе дедуктивных принципов демонстрация любого логического закона в качестве теоремы исчисления. В натуральном исчислении высказываний существуют 2-а типа правил вывода: 1) правила введения логических символов; 2) правила исключения логических символов. В свою очередь они делятся на однопосылочные (из одной формулы) и двухпосылочные (из 2-х формул). К дедуктивным принципам введения логических символов относятся правила:

1.1. — введение конъюнкции (обозначим символом «_в»), выражаемое схемой:

А, В

^________ .

А  В

Правило введения конъюнкции является двухпосылочным, позволяющим из любых имеющихся в рассуждении произвольных формул А и В построить конъюнкцию АВ.

• Пример

Если формула А является формулой (pq) и формула В является формулой (rs), то, применяя к ним правило _в, получим новую формулу ((pq)(rs)).

1.2. — введение дизъюнкции (обозначим символом «_в»), выражаемое схемами:

А ________ , А  В

А ________ . А  В

Правило введения дизъюнкции является однопосылочным, позволяющим при наличии в рассуждении любой произвольной формулы А построить посредством присоединения к ней справа любой формулы В дизъюнкцию АВ.

• Пример

Если формула А является формулой (pq) и формула В является формулой (rs), то, применяя правило _в, получим новую формулу ((pq)(rs)).

1.3. — введение импликации (обозначим символом «_в»), выражаемое схемой:

А

^________ ,

В  А

где В — последняя посылка. Правило введения импликации является однопосылочным. Оно позволяет применительно к любой содержащейся в рассуждении формуле А построить посредством присоединения к ней в качестве антецедента формулы В, участвующей в рассуждении в виде последнего допущения (посылки), материальную импликацию ВА.

• Пример

Если имеющаяся в цепочке рассуждений формула А является формулой (pq) и последняя посылка в этой цепочке формула В есть формула (rs), то, применяя правило _в, получим новую формулу ((rs)(pq)).

1.4. — введение отрицания (обозначим символом «_в»), выражаемое схемой:

А, А

^_________ ,

В

где В — последняя посылка. Правило введения отрицания является двухпосылочным и позволяет при наличии в цепочке рассуждений любых двух противоречащих друг другу формул А и А перейти к формуле В, являющейся отрицанием последней посылки в данных рассуждениях.

• Пример

Если в рассуждениях есть формула А, являющаяся формулой (pq), и формула А, являющаяся формулой (pq), а последняя посылка в ходе рассуждения — формула (rs), то, применяя правило _в, получим новую формулу ((rs)).

К дедуктивным принципам исключения логических символов относятся правила:

2.1. — исключение конъюнкции (обозначим символом «_и»), выражаемое схемами:

А  В _________ , А

А  В ________ . В

Правило исключения конъюнкции является однопосылочным и позволяет при наличии в цепочке рассуждений любой конъюнктивной формулы АВ перейти к формуле А или формуле В и использовать их в качестве самостоятельных звеньев этих рассуждений.

• Пример

Если в рассуждениях используется формула АВ, в которой А является формулой (pq), а В является формулой ((rs)), то, применяя правило _и, получим новые формулы (pq) и ((rs)).

2.2. — исключение дизъюнкции (обозначим символом «_и»), выражаемое схемой:

А  В, А

^{______________} .

В

Правило исключения дизъюнкции является двухпосылочным. Оно позволяет при наличии в рассуждениях высказывания дизъюнктивной формы и высказывания, являющегося отрицанием левого члена этой дизъюнкции, перейти к правому её члену, т. е. использовать в дальнейшем рассуждении отделённый правый дизъюнкт в качестве самостоятельного элемента.

• Пример

Если формула АВ является формулой ((pq)(rs)), то, применяя к ней правило _и, получим новую формулу (rs).

2.3. — исключение импликации (обозначим символом «_и»), выражаемое схемой:

А  В, А

^____________ .

В

Правило исключения импликации является двухпосылочным, позволяющим применительно к любой импликативной формуле в цепочке рассуждений отделить от антецедента консеквент, т. е. использовать далее отделённый консеквент в качестве самостоятельного звена рассуждений.

• Пример

Если формула А является формулой (pq) и формула В является формулой (rs), то, применяя к формуле АВ правило _и, получим новую формулу (rs).

2.4. — исключение отрицания (обозначим символом «_и»), выражаемое схемой:

А

^_______ .

А

Правило исключения отрицания является однопосылочным и позволяет снимать двойное отрицание с любой формулы.

• Пример

Если в рассуждениях есть формула А, являющаяся формулой (pq), то применяя правило _и, получим новую формулу (pq).