Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ташлыкова-Бушкевич - Физика, часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3316 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

26.7. Частица в одномерной бесконечно глубокой потенциальной «яме»

Рассмотрим электрон, движущийся в потенциальном поле. Примером движения электрона в потенциальной «яме» является движение коллективизи- рованных электронов внутри металла.

Потенциальная энергия электрона вне и внутри одномерной прямоуголь- ной потенциальной «ямы» U (x) имеет следующие значения, рис. 26.5, а:

ì¥, x < 0;
ï	£ x £ l;
U (x) = í0, 0		Р
ï
î¥, x > l,		И

где l – ширина «ямы»; стенки «ямы» бесконечно высокие, энергия отсчитыва- ется от ее дна. Используем уравнение Шрёдингера для стационарных состояний (26.15). Для одномерного случая в пределах «ямы», где U = 0, это уравнение упрощается:

d 2ψ

Eψ = 0

d 2ψ

+ k2ψ = 0 ,

(26.19)

dx2

+ h2

dx2

где k 2 = 2mE h2 .

ψ n (х)

ψ n

(х) 2

U → ∞ U → ∞ n

l Х

а1

l Х

кв

Рис. 26.5. Случай одном рного движения микрочастицы

в бесконечно глубокой потенциальной «яме»:

а – бесконечно глубокая п енциальная «яма»; б – энергетический спектр Еп микрочастицы;
в и г – соответств н с тбс венные функции ψп и плотность вероятности	ψ n	2


обнаружения микрочастицы в «яме»
но

Общее реше	уравнения (26.19) имеет вид
ние		(26.20)
л	ψ (x) = asin(kx + α) ,

где а α – произвольные постоянные.
Функцбя ψ (x) должна удовлетворять стандартным условиям. Видно, что

ψБ(x)ив в де (26.20) однозначна и конечна. Она должна быть еще и непрерыв-

ной. За пределы «ямы» частица не проникает из-за бесконечно высоких стенок, поэтому волновая функция вне «ямы» равна нулю. Следовательно, на границах «ямы» непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль:

ψ (0) =ψ (l) = 0 .

Из граничного условия ψ (0) = asinα = 0 получаем, что

α = ±π m,

где m = 0, 1, 2, 3.... При m = 0, а также при четных значениях т имеем

ψ (x) = asin kx . При нечетных значениях т имеем ψ (x) = −asin kx . Поскольку физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции ψ (x) 2 , который от выбора значения т, т. е. от знака ψ (x) не зависит, то без потери общности можно считать, что α = 0.

Из граничного условия ψ (l) = asin kl = 0 следует, что при a ¹ 0:

kl = ±π n ,	(26.20а)
где n = 1, 2, 3... (п = 0 отпадает, так как при этом ψ = 0	– частицы в яме нет).

Число k принимает лишь определенные дискретные значения, удовлетворяю- щие условию (26.20а). Отсюда

	k =	π n					(26.21)
		l

и можно заключить, что поскольку по определению k = 2π λ , гдеРλ – длина
волны де Бройля для электрона в «яме», то						И
	2π		π n		λ
				Þ l =	2 n .
	λ	= l
Таким образом, на ширине потенциальной «ямы» должноУукладываться целое

число полуволн де Бройля. Используем теперь выражение (26.19) и получим

уравнение для собственных значений энергии En :

En =

h2π

(26.22)

2ml2

, n = 1, 2, 3,....

Отрицательные значения п приводят лишь

изменению знака пси-функции и

еh π

не дают новых состояний. При этом минимальное значение энергии частицы в

яме не равно нулю:

Emin

2ml

ли

Следовательно, энергия частицы в бесконечно глубокой потенциальной

«яме» принимает шь

пределенные дискретные значения, т. е. квантуется,

ее спектр – дискретный, рис. 26.5, б, в то время как классическая механика на

энергию частицы в этом случае таких ограничений не накладывает.

кроме En , невозможны: вероят-

Другие значения Е энергии электрона,

En , равна

ность о наружить внутри «ямы» электрон с энергией, отличной от

решение уравнения (26.19) только нулевое.

нулю, так как при E ¹ E

Квантованные значения энергии Еп называются уровнями энергии, а чис- ло п, определяющее энергетические уровни частицы, называется квантовым

числом. Расстояние между соседними уровнями энергии (26.22) равно
DEn = En+1	- En = h2π 2			(2n +1) .	(26.22а)
			2ml2
Отношение En к En зависит от квантового числа следующим образом:
En =		2n +1	.		(26.22б)
En =			.		(26.22б)
En		n2

В 1923 г. Н. Бор сформулировал принцип соответствия:

при больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать классическим результатам.

Собственные волновые функции согласно (26.20) можно записать как

π n

x, 0

£ x £ l;

ψ n

(x) =

ïasin

x > l.

î0, x < 0,

2 dx =1, и тогда

Учтем условие нормировки (26.8), согласно которому ò

ψ (x)

òl

a2 sin2 π n x dx = a2

òl

(1- cos

2π n x)dx = a2 l =1.

Следовательно, a = 2

l . Таким образом,

нормированные собственныеРфунк-

ции в данном случае имеют вид

sin

π n

0 £ x £ l, n =1, 2,

3,...

(26.23)

ψ n (x) = í

x < 0, x > l,

î0,

показанный на рис. 26.5, в. Также на рис. 26.5, г изображена плотность вероят-

ности Р обнаружения частицы на разных р сстояниях от стенок «ямы», опреде-

ляемая выражением

P =

ψ (x)

=ψ (x) ×ψ * (x) .

Из этих графиков видно, что в низш м энергетическом состоянии ( n = 1) с наи- большей вероятностью час ицу можно обнаружить в середине «ямы», а вероят- ность нахождения ее вблизи кра в «ямы» весьма мала. В состоянии с n = 2 час- тица не может быть обнаружена в середине «ямы» и с одинаковой вероятно-

стью бывает как в лев й,

ак и в правой половине «ямы». Такое поведение час-

тицы резко отличается

ведения классической частицы. Если классическая

частица в подобной «яме» движется с постоянной скоростью, то вероятность ее

по

обнаружения во всех точках будет одинакова.

С уве ичениемиже энергии (т. е. с ростом квантового числа п) максимумы

распределения

(x)

располагаются все ближе друг к другу. При очень боль-

ших значениях п картина распределения

ψ n (x)

2 практически «сливается» и

распределен е представляется равномерным. Следовательно, вероятность об-

наружения частицы

разных точках

потенциальной «ямы» становится

одинаковой.

Отметим, что при возрастании квантового числа п энергетический спектр

частицы в бесконечно глубокой потенциальной «яме» изменяется. Дискрет- ность энергетического спектра будет играть все меньшую роль из-за уменьше- ния отношения En к En (26.22б) ( En En ≈ 2n ). Данный результат согласует-

ся с принципом соответствия.

26.8. Гармонический осциллятор (результаты решения)

Линейным гармоническим осциллятором в классической механике назы-

вается система, совершающая колебательное периодическое движение под дей- ствием квазиупругой силы около положения устойчивого равновесия, описы- ваемое уравнением вида (7.7) (см. тему 7 ч. I). Данная система является моде- лью, используемой при описании классических и квантовых систем. Пружин- ный, физический и математический маятники – примеры классических гармо- нических осцилляторов.

U(x)

Согласно классической механике одномер-

E2 = 5hω0 2

ный осциллятор совершает гармонические коле-

n = 2

бания с

циклической

κ m , где

частотой ω0 =

n = 1

E1 = 3hω0 2

κ – постоянная квазиупругой силы.РПоэтому по-

n = 0

E0 = hω0 2

тенциальная энергия одномерного гармониче-

ского осциллятора (см. формулу (7.19) ч. I) мо-

Рис. 26.6. График функции

жет быть определена как

2У2

κx

U(х), определяющей

U =

mω0 x

(26.24)

потенциальную энергию

Г2

гармонического осциллятора

Графиком функции (26.24) является парабола,

рис. 26.6.

Классический осциллятор не может выйти за пределы потенциальной

«ямы» с координатами − xmax ≤еx ≤ xmax , где − xmax , xmax – координаты точек поворота, в которых E = U . Частица может двигаться только в области, где E ³U , т. е. между точкамитповорота.

В квантовой теории задача о квантовом гармоническом осцилляторе

сводится к задаче о движении час ицы массой т в параболической потенциаль- ной яме (26.24). Уравнение Шрёдингера (26.15) для одномерного квантового осциллятора, для кот го по енциальная энергия имеет вид (26.24), записыва-

ется так:

ро

2ψ 2m

mω02 x2

(E -

)ψ = 0 ,

(26.25)

dx2

имеет смысл цик-

где Е – полная энергия осциллятора. В уравнении (26.25) ω

лической частоты классического одномерного осциллятора. Собственные значен я энерг для этого уравнения, как можно доказать, равны

æ	1	ö	, n = 0, 1, 2, ....	(26.26)
En = çn +		÷ hω0
	2
è		ø
БТаким образом, энергия квантового осциллятора в отличие от классиче-

ского не может быть произвольной, а квантуется (может иметь лишь дискрет- ные значения). Разность энергии между соседними уровнями определяется как

E = En+1 − En = hω0 .

Следовательно, уровни энергии квантового осциллятора расположены через равные интервалы hω0 и называются эквидистантными, рис. 26.5.

При n = 0 из выражения (26.26) определяется энергия нулевых колеба-

ний (нулевая энергия), равная E0 = 12 hω0 , которая была оценена еще в подтеме

26.3 на основе соотношения неопределенностей. Минимальная энергия кванто- вого осциллятора лежит выше минимума потенциальной энергии U = 0 . Нера- венство нулю E0 осциллятора – типично квантовый эффект – прямое следствие

соотношения неопределенностей. Наличие нулевой энергии подтверждается экспериментально.

Правилами отбора в квантовой механике называются условия, наклады-

ваемые на изменения квантовых чисел при разрешенных переходах системы из одного состояния в другое.

Точный расчет, выходящий за рамки данного курса, показывает, что пра-
вила отбора, характеризующие испускание и поглощение электромагнитногоР
излучения квантовым гармоническим осциллятором, имеют вид
n = ±1,		И	(26.27)

т. е. возможны лишь переходы между соседними уровнями энергии, рис. 26.6.
Следовательно, энергия гармонического осциллятора вУизлучательных процес-
сах может изменяться только порциями hω0	: гармонический осциллятор испус-
	Г

кает и поглощает энергию квантами.

Решения уравнения (26.25) таковы, что имеетсяБотличная от нуля вероят-

ность обнаружить частицу за пределами обл сти − xmax ≤ x ≤ xmax , т. е. в клас-

сически запрещенной области,

E < U . Существование отличных от нуля

значений

(x)

за пределами пот нциальной «ямы» объясняется волновыми

свойствами микрочастиц.

де

Квантовая плот

ψ n (x)

обнаружения частицы (кванто-

с ь вероя ности

вого гармонического

сцилля ора) в окрестности точки х зависит от значения

квантового числа п.

Графикитданной функции для n = 0, 1, 2

приведены на

рис. 26.7, а, б, в.

но

ψ 0

ψ1

ψ 2

n = 0

n = 1

n = 2

− x

max Х

xmax

− xmax

xmax Х

max

− xmax

Ба

Рис. 26.7. Плотности вероятности

ψ n

2 для квантового осциллятора при значениях

главного квантового числа n = 0,1, 2

При малых значениях квантового числа функции

ψ n (x)

имеют конеч-

ные значения в области

³ xmax

и принципиально отличаются от плотности ве-

роятности обнаружения классического осциллятора (пунктирная линия на рис. 26.7, б). С ростом числа п функция ψ n (x) 2 приближается к классической

кривой распределения. При n → ∞ график ψ n (x) 2 переходит в классическую

функцию распределения плотности вероятности.

Отметим, что рассмотренная модель гармонического осциллятора и свя-

занная с ним задача о движении частицы в параболической потенциальной «яме» является идеализацией, которая справедлива только при малых отклоне- ниях колеблющейся частицы от положения равновесия. В реальных системах потенциальная энергия U частицы, совершающей колебания около положения равновесия, имеет более сложный вид. При возрастании амплитуды колебаний движение частицы будет все больше усложняться, отличаясь от гармонических

Если поместить частицу в потенциальную «яму» с конечной высотой сте- нок, то с точки зрения законов классической физики она может выйти из этой

колебаний. Такое движение называют ангармоническим движением, а соответ-
ствующий осциллятор – ангармоническим осциллятором.				Р
ствующий осциллятор – ангармоническим осциллятором.			И
			И
26.9. Прохождение частицы через одномерный потенциальный барьер.
Туннельный эффект		У
		У
	Г
Б

«ямы» лишь при условии, что ее полн я энергия превышает глубину потенци-

альной «ямы». Иначе, частица, находящ яся внутри потенциальной «ямы», «за-
перта» в ней.			а
В квантовой механике сущ ству т принципиальная возможность прохож-
		к
дения («просачивания») час иц сквозь потенциальные барьеры. Это явление на-
зывается туннельным эффек оме. Для его описания вводится понятие коэф-
фициента прозрачн сти (пропускания) D потенциального барьера:
D =	Iпрох	=	jпрох	,	(26.28)

т			jпад
о	Iпад
где Iпад и jпад – соответственно интенсивность волны де Бройля, падающей на
барьер, и п отностьипотока частиц, падающих на барьер; Iпрох и					jпрох – соответ-

ственно бнтенсивностьл де-бройлевской волны, прошедшей барьер, и плотность потока част ц, прошедших барьер.

Коэфф циент прозрачности D можно рассматривать как вероятность пре-

одолен я частицы потенциального барьера. Из обратимости по времени следу-
и
ет, что для переходов в «прямом» и «обратном» направлениях коэффициенты
прозрачности одинаковы.
Б
Аналогично можно определить коэффициент отражения барьера R как
вероятность того, что поток частиц (частица) отразится от барьера:
R =	Iотр	=	jотр	,	(26.29)

	Iпад		jпад

где Iотр и jотр – соответственно интенсивность волны де Бройля, отразившейся

от барьера, и плотность потока частиц, отразившихся от барьера и полетевших в обратном направлении. Расчеты показывают, что прозрачность барьера зави- сит от его «формы» и высоты.

Таким образом, согласно определению, R + D = 1. Кроме того, значения R и D не зависят от направления движения частицы.

Существуют два простейших варианта одномерных потенциальных барьеров – прямоугольный потенциальный барьер в виде ступеньки, когда по- тенциальная энергия U при х = 0 скачком изменяется на конечную величину U0, а также потенциальный барьер прямоугольной формы высотой U0 и шириной l, рис. 26.8, а, б. Потенциальная энергия определяется соответственно так:

ì0,

x < 0;

(область 1)

ì0,

x < 0;

, 0 £ x £ l;

U (x) = í

, x > 0,

U (x) = íU0

(область 2)

îU0

x > l.

î0,

(область 3).

Е1 U

Е2

ψ2

(x)

ψ1

(x)

ψ3(x)

ψ (x)

ти

Рис. 26.8. Прох ждение час ицы через одномерный потенциальный барьер:

а и б – соответственно ступенчатыйти симметричный прямоугольный потенциальный барьер;

в – закономернос

зменен я ψ -функции в областях 1, 2 и 3; г – график распределения

п отности вероятности

ψ (x)

местоположения частицы

Пусть с ева на границу барьера налетает частица (или поток частиц) с

полной энерг

ей Е, см. рис. 26.8, а. «Классическая» частица с энергией E > U0

на р с. 26.8, а) пройдет над барьером (R = 0), а при E < U0 ( E = E2 на

( E = E1

рис. 26.8, а) отразится от него и будет двигаться в обратную сторону. В кванто- вой механике для микрочастицы при энергиях, превосходящих высоту барьера (и даже в отсутствие какого-либо барьера, например, при прохождении частицы над потенциальной ямой), есть вероятность надбарьерного отражения, когда частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону.

Вычислим вероятность надбарьерного отражения, рис. 26.8, а. В случае одномерного движения частицы слева направо вдоль оси Х уравнение Шрёдин- гера (26.15) запишется для областей 1 и 2 соответственно в виде (26.16):

d 2ψ1	+ k 2ψ1 = 0 ,	d 2ψ 2	+η2ψ 2 = 0 ,
d x2		d x2

где k = 2mEh; η = 2m(E −U0 )h. Общие решения будут следующими:

при x < 0 ψ1(x) = A1eik x + B1e−ik x ,

при x > 0 ψ 2 (x) = A2eiη x ,

где A1, B1 и A2 – постоянные. Решение уравнения Шрёдингера для области 1 является линейной комбинацией двух решений (26.16а). Первое слагаемое вол-

гаемое – отраженной от барьера частице. В области 2 частица, прошедшая над барьером, может двигаться только в положительном направлении оси Х.

новой функции ψ1(x) соответствует падающей на барьер частице,Ра второе сла-

Согласно условию непрерывности волновой функции на границе облас-

тей 1 и 2 запишем, что

ψ1

x=0 =ψ 2

x=0

dψ1

dψ 2

d x

x=0

Тогда уравнения, связывающие постоянные A1,

B1 и A2 ,Уимеют вид

A + B = A

и ik A − ik B = iη A .

1 2

Г1

Следовательно,

k −η

B1 =

A1 .

k +η

+η

Теперь получаем, что при движении над потенциальным барьером частица дей-

ствительно с некоторой вероятностью должна отражаться и менять направле-

ть

ние движения. Согласно опред л нию (26.29) эта вероятность R равна

еæ

ö2

R =

= ç

E -U0

÷ .

(26.30)

E +

E -U0

коэффициент прохождения D ( D = 1− R ):

Аналогично можно выч сли

D =

(26.30а)

слева направо с энергией E < U0

При движении частицы (или потока частиц)

жи

удет мнимым и волновая функция экспоненциально затухает

коэфф циент η

внутрь потенциальногоб

барьера (область x > 0 ),

очень быстро становясь пре-

небре мо малой. Отраженный поток равен падающему потоку частиц, т. е. частицы не могут проникнуть далеко и должны полностью отразиться от барье- ра с вероятностью R = 1.

В классической физике проникновение частиц под барьер запрещено. Однако вероятность проникновения микрочастицы под барьер (область x > 0 , рис. 26.8, а) отлична от нуля. Микрочастицу можно обнаружить в запрещенной с точки зрения классической физики области, где E < U0 , в которой кинетиче-

ская энергия классической частицы p2 (2m) была бы отрицательна:

E =	p2	+ U(x),	p2	< 0 ,
	2m		2m

а ее импульс был бы мнимым.

Поясним прохождение микрочастицы в запрещенную область с помощью

соотношения неопределенностей (26.2). Неопределенность импульса Dpx мик-

рочастицы, движущейся вдоль оси Х, на отрезке x = l составляет Dpx ³ h(2l) .

Тогда связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия

( px )2 (2m) может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия час-
тицы Е оказалась больше потенциальной U0 .	Р
Туннельный эффект. Рассмотрим одномерный прямоугольный потенци-
	И
альный барьер, показанный на рис. 26.8, б. Пусть слева (область 1) на него ле-

тит частица (или поток частиц). На языке квантовой теории будем рассматри-
					У
вать, как на барьер слева «падает» де-бройлевская волна
		Ψ(x,t) = Aei(k x−ω t) ,		Г		(26.31)
где k =				Г
где k =	2mE h. Частота ω прошедших волн, так же как и отраженных, одна и
			Б
та же (ω = E h). Поэтому в дальнейших расчетах исследуем координатную
часть этих волн ψ (x) .		а
Будем решать стационарное ур внение Шрёдингера для свободной час-
		к
тицы (26.16). В табл. 26.1 представлен вид ур внения Шрёдингера и его реше-

ние для трех пространственных областей, выделенных на рис. 26.8, б. Отметим,
ikx	−ikxое
что в случае, когда E >U0	, константа q определяется так: q = 2m(E −U0 )	h.

т
Иначе, если E < U0 , то q – мним число: q = iβ , где β = 2m(U0	− E)	h. Сла-

гаемые, содержащие e и e , соответствуют волнам, распространяющимся соответственно в пол жи е ьн м и о рицательном направлениях оси Х.

Вид волновых функций, являющихся решениями уравнения Шрёдингера

для областей 1, 2 3 на р с. 26.8, в, приведенных в табл. 26.1, свидетельствует:
	л
1) в об асти 1 волнвая функция ψ1(x) представляет собой сумму двух
плоских во н – падающейина барьер и отраженной от барьера. Падающая волна
характеризуется амп итудой A1, а отраженная – амплитудой B1 ;
и
2) в о ласти 2 при E > U0 имеются две плоские волны – падающая и от-
Б
раженнаябот границы областей 2 и 3. При E <U0 функция ψ 2 (x) описывает со-
стоян е част цы, прошедшей в классически запрещенную область, и не соот-

ветствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, так как показа- тели экспонент действительные. Можно показать, что при β l >> 1 в случае вы-

сокого и широкого барьера B2 » 0 . Вероятность ψ (x) 2 убывает по экспоненте с

глубиной проникновения частицы в запрещенную область 2 вдоль оси Х; 3) в области 3 – область за барьером – имеется только плоская волна,

прошедшая через барьер с амплитудой А3 и распространяющаяся в положи- тельном направлении оси Х.

Таблица 26.1

Вид решений стационарного уравнения Шрёдингера в случае движения частицы слева на одномерный прямоугольный потенциальный барьер

Область

Уравнение

Решение

Шрёдингера

при E > U0

при E < U0

d 2ψ1

+ k 2ψ1 = 0

(x) = A eikx

+ B e−ikx

(x) = A eikx

+ B e−ikx

x < 0

d x2

d 2ψ 2

+ q2ψ 2 = 0

(x) = A eiqx

+ B e−iqx

(x) = A eβx

+ B e−βx

0 ≤ x ≤ l

d x2

d 2ψ 3

+ k ψ = 0

ikx

x > l

dx2

ψ 3(x) = A3e

= A3e

ikx

ψ 3( x )

Качественный вид функций ψ (x)

для

E < U0

показан

на

случая

ψ (x)

рис. 26.8, в. Также на рис. 26.8, г показан вид плотности вероятности

ме-

стоположения частицы: слева от барьера мы имеем падающую и отраженную
а
волны, а за барьером – только прошедшую волну. Внутри барьера функция
щую систему четырех уравнений длякоэффициентов интегрирования:
ψ (x) имеет неволновой характер и является неоднородной.	′	в точ-
Условия непрерывности волновой фун ции ψ и ее производной ψ x

ках x = 0 и x = l в случае, когда эн ргия частицы Е меньше U0 , дают следую-
ψ		(0) =ψ			т		A + B = A + B ,
	1			2		е1		1	2 2
ψ			о			или	A e	β l + B e−β l = A eikl ,		(26.32)
	2			3			2	2	3
ψ1′(0) =ψ 2′(0) ,						или	ik( A1 − B1 ) = β (B2 − A2 ) ,
ψ	2′(l) =ψ			3′(l) ,		или	β (B2eβ l − A2e−β l ) = ikA3eikl .
л
В этой системе четырех уравнений имеется пять неизвестных. Однако ес-
ли задать п отностьипотока частиц,							падающих на барьер, то задача упрощается.

Можно показать, что в случае однородного движения вдоль оси Х эта плотность

задается соотношением

j =

(ψ

dψ *

−ψ

* dψ

) ,

d x

в которое подставляется ψ = A eikx . Таким образом, получают

2 hk .

пад

Аналогично для плотности потока отраженных частиц и частиц, прошедших через барьер, соответственно находим

прох

2 hk

, j

отр

2 hk .

Обычно в подобных задачах плотность jпад выбирают такой, чтобы A1 = 1. В этом случае система (26.32) будет неоднородной системой четырех линейных уравнений относительно четырех неизвестных коэффициентов. Ре-

шая систему, определяют A3 ,

а затем и прозрачность барьера, которая согласно

выражению (26.28)

D =

будет равна при β l

>> 1

D » D expé-

2m(U

- E) l

ù ,

(26.33)

где т и Е – масса частицы и ее энергия;

– коэффициент, близ-

D = 16

ç1-

U0 è

U0 ø

кий к единице. Как следует из выражения (26.33), чем шире барьер l, тем мень-

ше вероятность прохождения сквозь него частицы.

Если потенциальный барьер имеет сложную

форму, например, как на рис. 26.9, то прозрачность

барьера можно приближенно определить так:

D » D0 exp

(26.33а)

h xò

2m(U (x) - E) dx

х1

х2

где x1

x2 –аоординаты начала и конца потенци-

Рис. 26.9. Потенциальный

ального барькра U(x)

для данного значения полной

барьер произвольной

энергии Е частицы, т. е. значения координат, при ко-

формы

– постоянный множитель,

зави-

орых

U (x) = E ; D0

сящий от формы барьера. Э

равенс во (26.33а) является приближенным и тем

точнее, чем меньше (U − E) по сравнению с Е.

Туннельный эффект играет заметную роль в тех случаях, когда прозрач-

ность барьера D не с шком мала. С помощью формулы (26.33) можно оценить

ширину потенциаиьного барьера, для которого возможен туннельный эффект:

m(U

0 − E) l h ~ 1

или

l ≤ h

m(U0 − E) .

Следовательно, туннельный эффект возможен, когда

линейные размеры потенциального барьера соизме-

Квантовая частица

римы

атомными

размерами.

Например,

при

− E = 10эВ

для

электрона

m ≈10−30 кг,

при

«Классическая»

частица

l ≈ 10−10 м коэффициент прозрачности D ≈ 1 e. С уве-

0 1

E U0

личением массы частицы и разности

U0 − E

про-

Рис. 26.10. Зависимость

зрачность барьера уменьшается. На рис. 26.10 при-

D от E U0

частицы

ведена

зависимость

D(E U0 ),

рассчитанная по

формуле (26.33),

–

сплошная линия и зависимость

D(EU0 ) для «классической» частицы – пунктирная линия. Данные зависимо-

сти подчеркивают квантово-механическую специфику микрочастиц. Начальные представления о туннельном барьере были определены М. А.

Леонтоновичем и Л. И. Мандельштамом в 1927 г. (проблема квантования для

ангармоничного осциллятора).

В заключение отметим, что квантовые эффекты используются в ряде пе- редовых технологий, хотя и проявляются на уровне атомных систем. Квантовая механика стала в значительной мере «инженерной» наукой, знание которой не- обходимо и физикам-исследователям, и инженерам. Законы квантовой механи- ки позволяют изучать и объяснять свойства атомов и молекул, а также разнооб- разных макроскопических систем таких, как жидкости, плазма, твердые тела. Специфические явления квантовой механики не имеют аналогов в классиче-

ской механике (ньютоновской и релятивистской) и используются при поиске и
				Р
создании новых материалов, в том числе магнитных, полупроводниковых и
сверхпроводящих.				И

Туннельное прохождение микрочастиц сквозь потенциальный барьер ле-
жит в основе многих явлений физики твердого тела (явленияУв контактном слое
на границе двух полупроводников, эффект Джозефсона и т. д.), а также атомной
			Г
			Б
и ядерной физики (α-распад, спонтанное деление атомных ядер, протекание
		на
термоядерных реакций, например, на Солнце и звёздах при температуре в де-
сятки и сотни миллионов градусов).	к
Примером прибора, основанного		использовании явления туннельного
е
эффекта, является сканирующий тунн льный микроскоп, созданный в 1982 г.

Г. Биннигом и Х. Рёрером (Ноб л вс ая премия, 1986 г.). С середины 90-х го- дов ХХ в. метод туннельной микроскопии завоевал большую популярность как альтернатива электронным микроскопам. Принцип работы сканирующих тун- нельных микроскоп в заключае ся в сканировании тонким металлическим ост-

рием – зондом – поверхн с			образца (твёрдого электропроводящего тела, ор-
ганической пленки	б	ти
			гической структуры) на расстоянии 3 – 10 Å. Что-
	ло
ли

бы исследовать тонк е д электрики (в виде пленки), их помещают на поверх- ность проводящегоб материала. При приложении между образцом и зондом раз- ности потенциа ов U ~ 0,1−1 В в цепи появляется ток, обусловленный тунне-

лированием электронов через зазор между ними. Поскольку вероятность тунне-

лирован я через потенциальный барьер экспоненциально зависит от ширины барьераБ(см. формулу (26.33)), то при уменьшении зазора между зондом и об- разцом всего на 0,1 нм ток возрастает примерно в 10 раз. Таким образом, изме- рение туннельного тока между острием и образцом позволяет определить про- филь исследуемой поверхности в зависимости от координат, рис. 26.11, а. Раз- решающая способность микроскопа по х, у достигает 1 Å, а по z – порядка 0,01 Å. Микроскоп может также работать в режиме туннельной спектроскопии и снимать вольт-амперные характеристики точек поверхности. Среди областей

применения сканирующего туннельного микроскопа выделяют исследования атомного строения поверхностей металлических, сверхпроводящих и полупро-

водниковых структур, технологические исследования в области микроэлектро- ники и нанотехнологий и т. д. В настоящий момент достаточно широко исполь- зуются криогенные туннельные микроскопы. Предварительное охлаждение ма- териала до азотных температур позволяет получать за счет увеличения прово- димости образца на порядок более качественные изображения поверхностей, особенно с разрешениями на уровне единиц нанометров и больше.

На базе сканирующего туннельного микроскопа был создан сканирую- щий атомно-силовой микроскоп (1986), который позволяет исследовать и не-

проводящие вещества, магнитно-силовой микроскоп (1987), дающий возмож-

контактным, позволяет измерять с разрешением в доли нанометраРне только рельеф (рис. 26.11, б, в), но и силы трения, а также упругость и вязкость иссле-

ность изучать магнитные свойства поверхности, и т. д. Например, принцип ра-

боты атомно-силового микроскопа основан на зависимости силы взаимодейст-

вия тел от расстояния между ними. Режим работы микроскопа, называемый

дуемого образца. Шероховатость поверхности фольги сплава системы Al-Fe со-

ставляет в среднем 49,0 нм, рис. 26.11, г.

Z, нм

Y, мкм

Х, мкм

Z, нм

200

мкм

Х, мкм

Р с. 26.11. Результаты исследований, выполненных с помощью приборов,

основанных на использовании явления туннельного эффекта:

а – ильпроф поверхности кристалла AlGaAs (сканирующий туннельный микроскоп) [16];

б – 3D изображение топографии поверхности фольги сплава Al-0,3 ат. % Fe;

Бв и г – 2D изображение топографии поверхности (б) и соответствующая диаграмма

распределения неровностей вдоль выделенной линии (в) (атомно-силовой микроскоп) [17]

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3316 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.20152 Мб611ТАУ лекции 2.pdf
#
11.05.2015278 Кб69ТАУ методичка КР.pdf
#
16.11.20197 Мб83ТАУ_Лабораторные работы_Часть 2-ред..doc
#
11.05.20155 Мб235ТАУ.Конс.лек.Ч.2,Раз.1,2009.doc
#
11.05.20157 Мб192ТАУ.Конс.лек.Ч.2,Раз.2,3,4.2009.doc
#
17.03.20165 Мб67Ташлыкова-Бушкевич - Физика, часть 2.pdf
#
17.07.2019593 Кб23Твимс сергей 9 вариант.docx
#
15.08.20193 Мб36ТВИМС.doc
#
01.05.2025164 Кб2ТВиМС.doc
#
11.05.201516 Кб20твоп_1_задание.docx
#
01.04.2025516 Кб4ТВОЮ МАТЬ!!!!!!!!1111111111.docx