Тема 27. Операторы в квантовой физике

27.1. Средние значения величин. Основные постулаты квантовой теории. Собственные функции и собственные значения

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ташлыкова-Бушкевич - Физика, часть 2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3317 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

доказать, что модуль суммарного орбитального момента системы частиц

(электронов) определяется выражением

M L = h L(L + 1)

где L – орбитальное квантовое число результирующего орбитального мо-

Понятие среднего значения различных физических величин является весьма важным в квантовой теории. В качестве примера рассмотрим частицу одномерной квантовой системы, описываемую волновой функцией ψ (x) . Как

ранее было определено,	ψ (x)	2	является плотностью вероятности найти частицу
ранее было определено,	ψ (x)	2	является плотностью вероятности найти частицу
						Р
						Р
в окрестности координаты х. Тогда вероятность местонахождения частицы в
					И
интервале (x, x + dx) есть dP =ψψ *dx , и среднее значение координаты х части-
цы в состоянии ψ (x) определяется согласно выражению (26.9):
	x		∞	У
	x		= ψ *xψ dx .
			ò	Г
			−∞	Г
			−∞

При этом предполагается, что ψ-функция удовлетворяет естественным услови-
		Б
ям, в том числе выполняется условие нормировки (26.8):
∞	ψ (x)	2 dx = 1.
ò
		а
−∞

Поэтому среднее значение любой функции координат f(x) частицы, пребы-

вающей в состоянии, описываемом волновой функцией ψ (x) , определяется как

				f (x) =			∞
				f (x) =			ψ * f (x)ψ dx .		(27.1)
			т			−∞
Можно доказать, что среднее значение проекции импульса рх частицы, состоя-
ние которой задается пси-функцией ψ (x) , определяется так:
	и				∞
		о		px	= ò ψ		*æ	¶ψ ö	(27.2)
л				px	= ò ψ		ç-ih	÷dx .	(27.2)
л					−∞		è	¶x ø
Оператором называют символическое обозначение математической опе-
б

рации, которую необходимо совершить с некоторой функцией, например f(x). Примером оператора могут служить умножение на х или на какую-либо функ-

цию g(x), д фференцирование по х, т. е. ∂∂x , и т. д. Оператор принято обозна- Б

чать буквой со «шляпкой», например Q , и его действие на некоторую функцию

f(x) записывают как Qf (x) .

Дифференциальными и интегральными операторами называют опера-

торы, обозначающие соответственно вычисление производной или интеграла от функции. Пример дифференциального оператора – оператор вычисления гради-

ента Ñ (оператор набла).

Перечислим некоторые свойства операторов.

ˆ + ˆ

1. Операторы можно складывать: A B . Действие такого суммарного

	ˆ	ˆ
оператора на любую функцию f(x) дает результат Af (x) + Bf (x) .
2. Под произведением операторов	ˆ ˆ		результат
	A B понимают оператор,
действия которого на любую функцию f(x) равен		ˆ ˆ
		A(Bf (x)) : f(x) подвергается
ˆ			ˆ
действию оператора B , а полученный результат – действию оператора A.
ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ	ˆ
3. Если выполняется равенство AB	= BA, тогда операторы A и B комму-

тируют друг с другом (коммутирующие операторы). В противном случае операторы некоммутирующие. Пример некоммутирующих операторов – это опе-

ратор умножения функции на аргумент х и оператор дифференцирования ∂ ∂x :

∂

¶f

æ ¶

¶f

Поэтому

∂

x .

ç x

÷ f = x

x÷ f

(xf ) = f + x

è ¶x ø

¶x

è ¶x ø

¶x

4. Сложение и умножение операторов производится по обычным алгеб-

раическим правилам сложения и умножения чисел. Отличие лишь в том, что

при умножении

операторов

можно

переставлять

порядок

операторов-

сомножителей только тогда, когда они коммутируют. Например, всегда

ˆ ˆ

+ B)

= (A + B)(A

+ B)

= A

+ B

+ BA + AB .

Таким образом, в общем случае

ˆ2

ˆ ˆ

(A + B)

+ B

+ 2AB .

если дляБлюбых двух функций f1 и f2

Оператор A называют линейным,

и любых постоянных α1 и α2

выполняется соотношение

аˆ

A(α1 f1 +α2 f

2 ) =α1Af1

+α2 Af2 .

Основные постулаты квантовой теории. Общее утверждение кванто-

вой теории заключается в

ом, ч о ср дн е значение

Q любой физической ве-

гоQ =

òψ Qψ dx ,

(27.3)

личины Q для квантов

объек а (системы),

находящегося в состоянии, опи-

сываемом нормированн й в лновой функцией ψ , определяется по формуле

– функция, комплексно со-

где Q – оператор ф з

ческой величины Q; ψ (x)

пряженная с во новой функцией ψ (x) .

Сопоставивлуравнение (27.3) с выражениями (26.7) и (27.1), (27.2), прихо-

дим к выводу, что оператором координаты х и оператором проекции вектора

импульса рх на ось Х являются

= -

∂

(27.4)

x = x ,

ih ¶x .

Операторы

xˆ и

pˆx

являются одними из основных в квантовой теории.

Если волновая функция частицы (системы) задана как функция пространственных координат, ψ =ψ (x, y, z) , то простейшими операторами являются опера-

тор координаты и оператор импульса:
ˆ	= xiˆ	+ yˆ j + zˆ k ,	ˆ
r			p = pˆxi + pˆ y j + pˆzk ,

где операторы yˆ, zˆ,

pˆy , pˆz

определяются аналогично (27.4).

Запишем следующие формулы для часто используемых операторов:

─ оператор пространственной координаты частицы

rˆ = r ,

─ оператор квадрата импульса частицы

ˆ 2 = ˆ 2

+ ˆ2 +

ˆ 2

¶2

;

= -

2Ñ2

¶x

¶y

¶z

─ оператор кинетической энергии частицы массой т:

ˆ2

;

= -

Ñ2

─ оператор потенциальной энергии частицы

;

=U (r ,t)

─ оператор полной энергии частицы (в случае,

когда

U = U (r ) ) – га-

мильтониан (оператор Гамильтона):

r 2

= Ek

= -

+U (r ) .

pˆ

Зная выражения операторов

и H , можно найти средние значения

p2 , Ek , E

по формуле (27.3), если извест

ψ-функция частицы.

Собственной функцией оператора Q н зывается волновая функция ψ, не

равная тождественно нулю, при д йствии

которую оператором Q получает-

на

ся эта же функция, умноженная на постоянноек

число:

(27.5)

Qψ = Qψ

где число Q – собственн

соответствующее данной

значение оператора Q ,

собственной функ

. Отме им, что с каждым оператором Q в квантовой ме-

ое

ции

ханике связывается уравнение типа (27.5). Физический смысл будут иметь

только решения уравнен я (27.5), удовлетворяющие естественным условиям.

Со ственная ψ-функция описывает состояние,

в котором физическая ве-

личина Q имеет определенное значение. Например, собственными функциями

оператора мпу ьса

r ∂

p = -ih(i

+ j

+ k

)

¶x

¶y

¶z

в квантовой механике будут волновые функции вида (26.16а):

ψ (r ) = Aexp(ip × r

h) ,

описывающиеБ

свободную частицу, движущуюся в произвольном направлении.

В квантовой механике постулируется, что в результате измерения физической величины Q квантовой системы, находящейся в состоянии ψ , получают только те значения, которые совпадают с одним из собственных значений опе-

ратора ˆ , соответствующего этой величине.

Все собственные значения задачи (27.5) образуют набор собственных

значений переменной Q. В частном случае, когда частица массы m движется в силовом поле с потенциальной энергией U (x, y, z) , задача отыскания собствен-

ных значений и собственных функций гамильтониана H сводится к решению дифференциального уравнения

-	h2	Dψ +Uψ = Eψ	или Dψ +	2m	(E -U)ψ = 0.
	2m			h2

Получено стационарное уравнение Шрёдингера (26.15). Его решение дает набор (спектр) собственных значений энергии E, который может быть непрерывным, если движение инфинитно, или дискретным. Примером дискретности в микромире являются оптические спектры атомов.

Из уравнения (27.5) следует, что уравнение Шрёдингера для стационар-

ных состояний (26.15) можно записать в символической форме:

(27.6)

Hψ = Eψ .

Временнóе уравнение Шрёдингера (26.12) в операторной форме имеет вид

∂Ψ

(27.6а)

HY = ih

¶t

где H

= -

+U (x, y, z,t) .

27.2. Собственные значения и собственныеБ

функции

проекции момен

импульса

та

Момент импульса частицы L относительно начала координат О в класси-

ческой механике определяе ся в кторным произведением [r, p], т. е.

(27.7)

L =

px py pz

Такое опреде ен е в квант вой механике не имеет смысла,

так как не сущест-

вует состояния, в котором бы оба вектора r

и p имели определенные значения.

Рассмотрим момент импульса квантовой частицы. В квантовой механике

векторному произведениюл

[r, p] соответствует оператор [r, p]. Раскрывая это

векторное произведение, находят операторы проекций момента импульса на

коорд натные оси X, Y, Z. Например, на ось Z:

ˆ ˆ

∂

ih( y

¶x

¶y ) .

(27.8)

(x py

y px )

Через эти проекции оператор вектора момента импульса выражается как

rˆ

ˆ r

(27.9)

= Lxi

+ Ly

+ Lzk .

В дальнейшем будем использовать оператор проекции момента импульса на ось Z, но не в декартовой, а в сферической системе координат (r,θ,ϕ) :

	ˆ	= −ih	∂	.	(27.10)
Оператор момента	Lz		∂ϕ
	импульса зависит только от направления координат-

ных осей. Поэтому его также называют оператором углового момента. Собственные значения операторов проекций момента импульса тоже не зависят от выбора начала координат.

Можно проверить и убедиться, что операторы проекций момента импуль-

ˆ	ˆ	ˆ	не коммутируют между собой:	ˆ ˆ	ˆ ˆ
са Lx ,	Ly	и Lz	не коммутируют между собой:	Lx Lyψ ¹ Ly Lxψ . Поэтому не суще-

ствует состояния, в котором бы все три и даже какие-либо две из трех проекций Lx , Ly , Lz имели определенные значения, отличные от нуля. Отметим, что в от-

личие от момента импульса у импульса одновременно измеримы три компо-

ненты px , py , pz .	Р
Итак, не существует такого состояния квантовой частицы, в котором

бы вектор момента импульса имел определенное значение, т. е. был бы пол-

ностью определен как по величине, так и по направлению. Исключением явля-

ется только случай, когда L = 0

и все три проекции одновременноУ

равны нулю:

Lx = Ly = Lz = 0 .

Модуль момента импульса. Чтобы определить квадрат момента им-

пульса частицы в состоянии ψ , необходимо решитьБуравнение вида (27.5)

ˆ2

к2

аˆ ˆ

Lψ = Lψ ,

где оператор квадрата момента импульса L

= Lx

+ Ly + Lz . Можно показать, что

справедливо

для собственных значений оператора L

(27.11)

= l(l +е1)h , l = 0,1, 2, ...,

где l – орбитальное (азиму альное) квантовое число. Отсюда модуль момента

импульса движущейся микр час ицы

L = h

l(l + 1) ,

l = 0,1, 2, ....

(27.11а)

Видно, что эта ве ч на является дискретной

(квантованной).

ˆ2

Отметим, что операторы

Lx ,

Ly и

(27.10) коммутируют с L . Следова-

тельно, можнолодновременно определить величину момента импульса L (или ее

квадрат L2 ) одну из его проекций ( L ,

или L ). Обычно рассматривают

задается более простой

проекц ю на ось Z, так как в этом случае оператор Lz

формулой (27.10).

Проекция момента импульса Lz . Чтобы определить собственные значения и собственные функции оператора углового момента частицы, необходимо,

		ˆ
согласно выражению (27.5), решить уравнение Lzψ = Lzψ , т.е.
− ih	∂	ψ = Lzψ ,	(27.12)

	∂ϕ
где волновая функция является функцией сферических			координат:

ψ =ψ (r, θ, ϕ) . Подстановка ψ = Ceαϕ (C = C(r,θ ) ) приводит после сокращения

на общий множитель Ceα ϕ к уравнению

− ihα = Lz , hα = iLz .

Значит, решение уравнения (27.12) таково:

i Lz ϕ

ψ = Ce h .

В силу требуемой однозначности ψ при повороте вокруг оси Z на угол 2π волновая функция не должна изменяться: ψ (ϕ + 2π ) =ψ (ϕ) . Поскольку функция

							Р
eiα периодична с периодом 2π , то согласно (27.13) это равенство может вы-
полняться только при условии						И
	i	Lz	2π = m × 2πi .			И
	i	h	2π = m × 2πi .		У
		h
Поэтому				, m = 0, ± 1, ± 2, ... ,				(27.13)
Поэтому
	Lz		= mh
				Г
где число т называют магнитным квантовым числом. Таким образом, посто-
				Б

янную Планка h можно рассматривать как естественную единицу углового момента. Отметим, что уравнение (27.13) задает спектр разрешенных значений проекции момента импульса на выделенную ось Z.

Равенство (27.13) означает, что, поскольку направление оси Z выбирают произвольно, то проекция углового моме на любое направление кванту-

ется, рис. 27.1. Разумеется, схематичес ое изобр жение на рис. 27.1 не следует
понимать буквально, так как «в ктор» нтаL принципиально не имеет определен-
ных направлений в пространст . Отмктим, что при определенном значении
модуля углового момента и опрвед л нном значении проекции Lz	проекции Lx
и Ly не имеют определенных значений (за исключением случая,	когда все три
го
компоненты углового м мен а одновременно равны нулю). Значения L и Lz, от-
и

личные от (27.11а) (27.13),тне могут наблюдаться ни при каких условиях. Проекция юбо вектора не может быть больше модуля этого вектора,

т. е. Lz ≤ L. Поэтому в соответствии с формулами (27.11а) и (27.13) выполняется условие

	Z л			m	< l(l +1) ;	(27.14)
	Z л			m	< l(l +1) ;	(27.14)
	2h	L = 6h					m
	2h		следовательно, максимальное значение					рав-
Б	Lz		следовательно, максимальное значение					рав-
Б	б m = 1
	б m = 1
	1h	m = 0	но l и можно записать, что
и		m = 0	но l и можно записать, что
	0				m = 0, ±1, ± 2, ..., ± l .
	−1h	m = −1	При заданном l число т принимает (2l +1) зна-
	− 2h	m = −2	чений:
Рис. 27.1. Возможная ориентация				− l, − (l −1), ..., 0, ..., l −1, l ,
Рис. 27.1. Возможная ориентация			образующих спектр проекции Lz = mh				на лю-
вектора момента импульса,			образующих спектр проекции Lz = mh				на лю-
например электрона, в состоянии			бую выделенную ось Z, рис. 27.1.
с квантовым числом l = 2

Таким образом, квантовое число l задает и модуль углового момента, и все возможные значения его проекции на ось Z. Так, например, когда орбитальное квантовое число l = 2 (см. рис. 27.1), то

L = h 6 , Lz = −2h, −1h, 0,1h, 2h .

Полученные результаты, определяющие возможные значения L и Lz, называют пространственным квантованием. Для наглядности пространственное квантование обычно представляют графически, как на рис. 27.1: по оси Z откладывают возможные значения mh, рассматривая их как проекции на ось Z вектора

L длины h l(l +1) .		Р

	И
27.3. Опыт Барнетта. Опыт Эйнштейна и де Хааза. Опыт Штерна
и Герлаха. Спин. Квантовые числа орбитального и спинового моментов
	У

Известно, что намагничивание вещества в магнитном поле обусловлено

электронов по замкнутым микроскопическим орбитамГв пределах каждой молекулы (атома). Для качественного объяснения магнитных явлений с достаточ-

преимущественной ориентацией или индуцированием во внешнем магнитном

поле микроскопических молекулярных токов, возникающих из-за движения

ным приближением можно считать, что электрон движется в атоме по круго-
вым орбитам вокруг положительного яд					. ЭлектронБ,	движущийся по одной из
		m		к
таких орбит, эквивалентен круговому то у. Поэтому он обладает орбитальным
			е
магнитным моментом pm = ISn , модульраоторого равен
	p		= IS = eνS ,			(27.15)
	т				– частота вращения электрона с заря-
где I = eν – сила орбитального			ока; ν
дом е по орбите (количес	оборо ов в единицу времени); S – площадь круго-

вой орбиты. Если электр н движе ся по часовой стрелке, то ток направлен против часовой стрел и вект р pm в соответствии с правилом правого винта на-

правлен верх перпенд						кулярно плоскости орбиты электрона, рис. 27.2.
I		pm			воВ то же время движущийся по орбите электрон
I		pm				обладает механическим моментом импульса L , модуль
		r		ки						e
		r		e–		которого равен
			л				Le		= rmeυ = 2meνS ,		(27.16)
			υ				Le		= rmeυ = 2meνS ,		(27.16)
		б				где υ = r2πν ;	S = πr	2		– площадь кругового тока; тe –
		б
		Le
		Le				масса электрона.
и						масса электрона.
и						Вектор	Le (его направление также подчиняется
Рис. 27.2. Схематическое						Вектор	Le (его направление также подчиняется
движение электрона						правилу правого винта) называется орбитальным ме-
Б		в атоме				правилу правого винта) называется орбитальным ме-
		в атоме				ханическим моментом электрона.
						ханическим моментом электрона.
	Направления векторов pm и Le						для электрона противоположны, рис. 27.2.

Учитывая выражения (27.15) и (27.16), получим отношение, связывающее магнитный момент и момент импульса движущегося электрона:

r	e	r	r
pm = -		Le = γl Le .		(27.17)
pm = -	2me	Le = γl Le .		(27.17)
	2me

Величина, равная отношению проекций магнитного и механического моментов, называется гиромагнитным отношением. Из выражения (27.17) следует, что для орбитального движения электрона гиромагнитное отношение будет

γ l = -

(27.17а)

2me

Знак «–» указывает на то, что направления моментов pm и Le

противоположны.

В дальнейшем будем обозначать орбитальный магнитный момент pm как

μl , а орбитальный механический момент Le

– буквой Мl.

Модуль орбитального механического момента электрона можно опреде-

лить по формуле (27.11а)

Ml = h l(l +1)

(27.18)

где l = 0,1, 2,... – орбитальное

число электрона.

квантовое

Проекция орбитального механического момента электрона на некоторое

направление Z согласно формуле (27.13) определяется выражением

где ml = −l, − l + 1, ..., l − 1, l

M lz = ml h

(27.19)

– магнитное кв нтовое число электрона. Следова-

тельно, при ml > 0 проекция Ml

положительна, при ml < 0 – наоборот. Отме-

тим, что направление Z в пространст

обычно выделяется внешним полем (на-

пример магнитным или электрич с им),ав отором находится атом.

Формулы (27.17) и (27.18) свидкт льствуют о том, что магнитный момент

т e

заряженной микрочастицы кван у тся. Введем постоянную, называемую маг-

нетоном Бора:

ве

» 0,93×10−23 А∙м2,

где е и те – заряд

масса электрона. Согласно формулам (27.11а) и (27.13) дис-

кретный спектр разрешенных значений величины модуля орбитального маг-

нитного момента

его проекции на выделенную ось Z для движущегося по ор-

бите электрона определяется как

μl

= μБ

l(l +1) , l = 0,1, 2,...,

(27.20)

μlz

= −μБ ml , ml

= 0, ±1, ± 2, ... ± l .

(27.21)

Магнетон Бора – это квант магнитного момента. Ориентация вектора μl в про-

странстве изображается аналогично рис. 27.1.

Экспериментально гиромагнитное отношение орбитальных моментов для всего намагниченного образца было определено при изучении магнитомеханических явлений С. Дж. Барнеттом (американский физик) в 1909 г., а также в опытах А. Эйнштейна и В. И. де Хааза (нидерландский физик) в 1915 г.

Барнетт обнаружил, что вращение магнетика вызывает его намагничение. В поставленном опыте ферромагнитный железный цилиндр очень быстро

вращался вокруг своей оси. Цилиндр намагничивался и создавал дополнительное магнитное поле. Барнетт измерял возникающую намагниченность.

Эйнштейн и де Хааз доказали, что намагничение магнетика приводит к его вращению. Они исследовали вынужденные крутильные колебания – вращение свободно подвешенного на тончайшей кварцевой нити железного стержня при его намагничивании во внешнем магнитном поле, рис. 27.3. Стержень помещался внутри соленоида. Экспериментаторы наблюдали за смещением све-

тового зайчика, отраженного от зеркальца, укрепленного на нити.
	Экспериментально в описанных выше опытах было об-
	наружено аномальное значение гиромагнитного отношения для
	ферромагнетиков, равное − e me , т. е. в два раза большее, чем
	выражение (27.17а). При этом знак носителей, обусловливаю-
	щих молекулярные токи, совпадал со знаком заряда электрона.
			Р
Рис. 27.3. Схема	Открытие в дальнейшем того, что кроме орбитальных момен-
	тов μl и Мl электрон обладает собственным механическим
эксперимента		И
	моментом импульса M s , т. е. спином, позволило объяснить
Эйнштейна–
де Хааза	данный результат.	У
	В 1922 г. О. Штерн и В. ГерлахГисследовали прохожде-
ние атомов серебра Ag в сильно неоднородном вдоль оси Z магнитном поле
сильного электромагнита с полюсными н конечникамиБ		специальной формы SN,
рис. 27.4. Они обнаружили, что атомный пучок расщеплялся на два компонен-

та, расположенных симметрично относительно первоначального направления.
	а
к
е

Это означает, что атомы Ag, у которых один внешний электрон, обладают магнитным моментом, проекции ко орого на направление Z принимают два значе-

ния с противоположными знаками, .

. магнитный момент квантуется.

Поскольку в основном состоянии

атома Ag во внешней электронной обо-

лочке находится только один электрон,

то обнаруженный магнитный

момент

Z оA

атома может быть связан только с суще-

ствующим

собственным

механическим

Рис. 27.4. Схема опыта Штерна–Герлаха.

моментом электрона. Действительно,

Внут

вакуумной трубки расположены:

результат

эксперимента

противоречит

А – фотопласт нка, B – серебряный шарик,

формуле (27.21), которая предсказывает

D – д афрагма, SN – электромагнит

расщепление пучка атомов на нечетное

ри

число

2l +1

пучков (это число разных значений магнитного квантового числа

ml ). Если же атомы находятся в состоянии с квантовым числом l = 0 ,

то после

прохождения участка с магнитным полем весь пучок атомов серебра должен попадать в центральную точку экрана А, рис. 27.4. Таким образом, опыт Штерна и Герлаха привел к гипотезе наличия у электрона собственного механического момента – спина.

Спин (спиновый момент) – это квантовая величина, не имеющая классического аналога. Он является неотъемлемым свойством электрона и других

элементарных частиц (тема 32) подобно тому, как они имеют массу, а заряженные частицы – еще и заряд. Спин характеризует внутреннее свойство квантовой частицы, связанное с наличием у нее дополнительной степени свободы.

Модуль спина (собственного механического момента импульса) M s час-

тицы определяется по законам квантовой теории и должен быть квантован по закону

	Ms = h s(s +1)	,			(27.22)
где s – спиновое квантовое		называют спином). В отличие от
	число (часто
квантовых чисел l и т число s может быть как целым, так и полуцелым.
				Р
Проекция M sz спина на ось Z также должна быть квантована:
	Ms z = hms , ms = −s, − s + 1,..., s −1, s		,		(27.23)
где ms – магнитное спиновое (называют также просто спиновым) квантовое
		У
число – число возможных проекций Ms z , соответствующих данному значению
s. Число возможных различных ориентаций в магнитном Иполе вектора M s

(2s +1) . Для электрона спиновое квантовое число s = 1 2 , так как эксперимен-

тально установлено, что электрон может находиться в двух спиновых состоя-

ниях.

Следовательно, модуль

спинового

моментаГ

электрона

равен

Ms = h

3 2 , а возможные значения его проекции Ms z = ±h 2 .

Аналогично орбитальному моменту в одном и том же состоянии могут

иметь определенные значения квадратпинас M s2 (а значит, и модуль спина

M s ) и одна из его проекций Ms z на произвольно выбранную ось Z.

27.4. Сложениеемом нтов. Результирующий

механический м мент многоэлектронной системы

В общем случае механический момент электрона складывается из сле-

оментовх м

орбитального M l (обусловлен движением

дующих механическ

электрона в атомеи) спинового M s (не связан с движением электрона в про-

странстве). По ный момент импульса M j

электрона символически записы-

вают так:

M j

= M l + M s

(27.24)

Правила сложения угловых моментов в квантовой теории не зависят от

того, являются ли моменты орбитальными или спиновыми. Поэтому модуль

полногоБ

момента электрона M j

определяется формулой

M j

= h

j( j + 1) ,

j = l + s,

l − s

(27.25)

где j – квантовое число полного момента импульса; l и s – соответственно орбитальное и спиновое квантовые числа. Для электрона квантовое число j является полуцелым, поскольку l всегда целое и всегда положительно. При задан-

ном l ¹ 0 возможны два значения j: j = l + 12, l − 12 . Условно принято гово-

рить, что спиновый момент либо «сонаправлен» с орбитальным моментом (знак +), либо ориентирован противоположно (знак –). Если l = 0 , то квантовое число j принимает единственное полуцелое значение: j = s = 12 .

Возможные проекции полного момента импульса (27.24) на ось Z равны

					,	(27.26)
	M j z	= hmj , mj = − j, − j +1,..., j −1,		j
т. е. при данном j возможны					M j z	на лю-
	2 j +1 различных значений проекции
бую выделенную ось Z, отличающихся значениями m j . Например, при l = 1
j1 = 1 + 1 2 = 3 2,		m j = 3 2,1 2, −1 2, − 3 2		,	Р

j2 = 1−1 2 = 1 2,		m j = 1 2, −1 2 .	И

Если же l = 0, то j = s = 1 2 и весь момент импульса чисто спиновый.

Понятие углового момента применимо и в случае системы частиц. Можно

мента. Рассмотрим простейший случай системы, состоящей из двух невзаимо-

действующих частиц 1 и 2 с орбитальными моментами l и l									соответственно.
				к
Тогда квантовое число L – целое, положительное – может иметь значения
L = (l	+ l		), (l + l		−1), ...,	l − l	2	.	(27.28)
1		2	1	2	а1		2
Отсюда следует, что L (а значит,				и р зультирующий момент) может иметь
	т
2l1 + 1 или 2l2 + 1 различных знач ний (нужно взять меньшее из значений l1 и

l2). Это легко проверить. Например, для l1 = 2 и l2 = 3 получаем 2l1 + 1 = 5 раз-
				о
ных значений L: 5, 4, 3, 2, 1.
			при
Если система с ст ит не из двух, а из многих частиц, то квантовое число
L, определяющее результ рующий орбитальный момент, находится путем по-
		л
следовательного			менения правила (27.28). При этом максимальное значение
	б
L будет равно сумме ч сел l отдельных частиц.
Проекция резу ьтирующего орбитального момента системы электро-
и
нов на некоторое направление Z определяется так:
Б					ML z	= hmL , mL = 0, ± 1, ± 2, ..., ± L	.	(27.29)
Г ромагнитное отношение						γl = μl Ml (27.17а) выполняется как для от-

дельного электрона, так и для совокупности электронов. При сложении орбитальных магнитных моментов отдельных п электронов справедливо соотношение, аналогичное (27.17):

r n	r	e	n	r	r
μL = åμl i = −			åMl i = γl M L .			(27.30)
μL = åμl i = −		2m	åMl i = γl M L .			(27.30)
i=1		e i=1

Если рассматривать атом, то n = Z , т. е. числу электронов в атоме, равному порядковому номеру элемента в системе Менделеева (см. тему 28). Тогда получа-

ем, что формула (27.30) – это выражение для орбитального магнитного момента атома μL , определяемого как векторная сумма орбитальных магнит-

ных моментов всех электронов атома. В это случае в формуле (27.30) ML – ор-

битальный момент атома. Следовательно, модуль орбитального магнитного момента атома μL и его проекция на направление Z определяются согласно

формулам (27.27) и (27.29) соответственно так:

μL = μБ L(L +1) , μL z = −μБmL . (27.31)

Отметим, что в первом приближении при выполнении расчетов магнитными
	Р
моментами атомных ядер можно пренебречь по сравнению с магнитными мо-
ментами электронных оболочек атомов.
Подобным же образом, как и результирующий орбитальный момент мно-

гоэлектронной системы, определяется модуль суммарного спинового момента
системы:			У
			И
	M S = h S(S + 1)	,		(27.32)
где квантовое число S	результирующего	спинового момента может быть це-

лым или полуцелым – в зависимости от числа частиц – четного или нечетного.
Когда число N электронов четное, то S = Ns, Ns −1,Г..., 0, где s = 1 2 , т. е. в этом
случае S – целые числа. Например, при N = 4 число S может быть равно 2, 1, 0.
Если же число N электронов нечетное,Бто S принимает все полуцелые
								к
значения от Ns до s, где s = 1 2 . Например, при N = 5 возможные значения S
равны 5/2, 3/2 и 1/2.								а
Типы связи. В многоэл ктронных атомах каждый электрон можно ха-
					т
рактеризовать орбитальным и спиновым моментами. Полный механический мо-
мент атома определяе ся						ем, какеорбитальные M l и спиновые M s моменты
				о
взаимодействуют друг с друг м.
			и				сновные типы связи моментов в атоме:
Возможны следующие							сновные типы связи моментов в атоме:
1. Нормальная связь (связь Рёссель–Саундерса), или LS -связь – наибо-
		л
лее распространенная. Такой вид связи, как правило, присущ легким и не
слишком тяже ым атомам.									l
	б								l	M l
Эта связь зак ючается в том, что орбитальные моменты электронов										M l
и
вза модействуют между собой сильнее, чем со спиновыми моментами M s ,										ко-
Б
торые в свою очередь сильнее связаны друг с другом, чем с M .
Поэтому все орбитальные моменты M l отдельных электронов складыва-
ются в результирующий орбитальный момент M L . Спиновые моменты										M s

всех электронов многоэлектронного атома складываются в результирующий

спиновый момент M S . Именно взаимодействие M L и M S	определяет суммар-
ный момент M J атома:
M J = h J (J +1) ,	(27.33)

где квантовое число J полного момента может иметь одно из значений:

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3317 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.20152 Мб611ТАУ лекции 2.pdf
#
11.05.2015278 Кб69ТАУ методичка КР.pdf
#
16.11.20197 Мб83ТАУ_Лабораторные работы_Часть 2-ред..doc
#
11.05.20155 Мб235ТАУ.Конс.лек.Ч.2,Раз.1,2009.doc
#
11.05.20157 Мб192ТАУ.Конс.лек.Ч.2,Раз.2,3,4.2009.doc
#
17.03.20165 Мб67Ташлыкова-Бушкевич - Физика, часть 2.pdf
#
17.07.2019593 Кб23Твимс сергей 9 вариант.docx
#
15.08.20193 Мб36ТВИМС.doc
#
01.05.2025164 Кб2ТВиМС.doc
#
11.05.201516 Кб20твоп_1_задание.docx
#
01.04.2025516 Кб4ТВОЮ МАТЬ!!!!!!!!1111111111.docx