chap_0

11.26. Щiльнiсть розподiлу випадкової величини f(x) = 0; 5ejxj (розподiл Лапласа). Знайти функцiю розподiлу, математичне очiкування, дисперсiю та ймовiрнiсть попадання значення випадкової величини на промiжок (0; 1).

Вiдповiдь. F (x) = 0; 5ex (x 0); F (x) = 1 0; 5e x (x > 0); m = 0; d = 2;

p(0 < x < 1) = 0; 316.

11.27. Швидкiсть молекул газу має щiльнiсть розподiлу ймовiрностей (закон Максвелла): f( ) = A 2e h2 2 ( > 0). Знайти величину A, математичне очiкування та дисперсiю швидкостi молекул.

11.28. Щiльнiсть розподiлу ймовiрностей випадкових амплiтуд

бокової качки човна має вигляд (закон Релея): ax2 e 2xa22 (x > 0). Знайти функцiю розподiлу F (x), математичне очiкування M(x) та дисперсiю D(x) амплiтуд качки човна.

11.29. Знайти математичне очiкування, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення випадкової величини, що має гiпергеометричний розподiл

11.30. Знайти математичне очiкування, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення випадкової величини, що має розподiл Паскаля

ak

p(x = k) = (1 + a)k+1 ; k = 0; 1; 2; : : : (a > 0):

Якщо перейти вiд подiї jx mj " до протилежної подiї jx mj < ", то нерiвнiсть Чебишова можна записати в рiвносильнiй формi

Покладемо " = 3 , де – середнє квадратичне вiдхилення. Тодi з нерiвностi (12.2) слiдує правило трьох сигм.

Правило трьох сигм. Ймовiрнiсть подiї m 3 < x < m+3 бiльша нiж 8=9.

Отримана оцiнка досить груба, оскiльки клас розподiлiв досить широкий (на розподiл накладаються лише умови iснування математичного очiкування та дисперсiї). В дiйсностi, для переважної бiльшостi важливих для практики розподiлiв така ймовiрнiсть значно ближча до 1 нiж 8=9. Так, для нормального закону розподiлу ймовiрнiсть подiї m 3 < x < m + 3 становить 0,9973 (див. с. 115).

Збiжнiсть за ймовiрнiстю. Будемо говорити, що послiдовнiсть випадкових величин n збiгається за ймовiрнiстю до числа a, якщо для будь-якого числа " > 0 справедлива рiвнiсть

lim p(j n aj ") = 0;

n!1

або рiвносильна їй рiвнiсть

lim p(j n aj < ") = 1:

n!1

1Для простого випадку, коли дискретна випадкова величина задана таблицею, нерiвнiсть Чебишова доводиться просто:

12.2Теорема Чебишова

Нехай маємо послiдовнiсть fxng (n = 1; 2; : : :) незалежних випадкових величин, якi мають спiльне математичне очiкування m та дисперсiї, обмеженi зверху деяким числом C.

Розглянемо випадкову величину

sn = x1 + x2 + + xn ; n

для якої математичне очiкування та дисперсiя вiдповiдно дорiвнюють:

з якої слiдує важлива теорема Чебишова.

Теорема 12.2 (Теорема Чебишова). Середнє арифметичне

sn = x1 + x2 + + xn n

випадкових величин xk (k = 1; 2; : : :) прямує за ймовiрнiстю до математичного очiкування m при багаторазовому повтореннi дослiду (n ! 1).

Змiст теореми Чебишова пояснимо таким прикладом. На практицi для отримання бiльш точних результатiв вимiрювання деякої величини її вимiрюють кiлька разiв i за результат вимiрювання беруть середнє арифметичне значення отриманих вимiрювань. Нехай: x1 – результат першого вимiрювання, x2 – результат другого вимiрювання i т. д. Конкретнi числа x1, x2,. . . ,xn можна вважати значеннями деяких випадкових величин x1, x2,. . . , xn, якi

мають спiльне математичне очiкування m, яке спiвпадає з точним значенням вимiрюваної величини, та спiльну дисперсiю d, яка характеризує точнiсть вимiрювального приладу. Випадковi величини задовольняють всi умови теореми Чебишова. I тому, практично достовiрно, що їх середнє арифметичне значення як завгодно мало вiдрiзнятиметься вiд точного значення вимiрюваної величини (за рахунок вибору достатньо великого числа n). Теорема Чебишова обгрунтовує широко розповсюджений на практицi спосiб отримання бiльш точних значень вимiрюваної величини: для отримання бiльш точних результатiв вимiрювання деякої величини її вимiрюють кiлька разiв i за результат вимiрювання беруть середнє арифметичне значення отриманих вимiрювань.

12.3Теорема Бернуллi

Iз теореми Чебишова як наслiдок можна отримати другу важливу теорему, яка вперше була доведена Я. Бернуллi в 1713 р. Припустимо, що проводиться серiя незалежних дослiдiв, в кожному з яких iз ймовiрнiстю p може наступити певна подiя А (с. 69). Розглянемо випадкову величину Vn – число настання подiї А в n дослiдах. Очевидно, що Vn можна подати у виглядi суми

де i – число настання подiї А в i-му дослiдi. В i-му дослiдi подiя A може настати (у цьому випадку величина i прийме з ймовiрнiстю p значення рiвне одиницi), а може i не настати (у цьому випадку величина i прийме з ймовiрнiстю q = 1 p значення рiвне нулю). Тому величини i незалежнi i мають один i той же закон розподiлу

Знайдемо параметри цього розподiлу:

Математичне очiкування M[ i] = 0 q + 1 p = p; Дисперсiя D[ i] = (0 p)2 q + (1 p)2 p = pq.

сна частота настання подiї, то застосувавши до послiдовностi випадкових величин i (i = 1; 2; : : :) теорему Чебишова, отримаємо важливу теорему Бернуллi, яка розкриває точний змiст того факту, що вiдноснi частоти в довгiй серiї дослiдiв мають властивiсть групуватись навколо деякого числа.

Теорема 12.3 (Теорема Бернуллi). При багаторазовому повтореннi дослiду вiдносна частота настання подiї A прямує за ймовiрнiстю до числа p ймовiрностi подiї A в одиничному експериментi.

12.4Центральна гранична теорема

У центральнi граничнi теоремi розглядається питання про закон розподiлу великої суми незалежних випадкових величин. Виявляється, що при досить загальних умовах закон розподiлу суми буде близьким до нормального розподiлу. В загальних рисах змiст обмежень зводиться до того, що вплив кожної окремої випадкової величини на загальну суму повинен бути мiзерно малим. Зокрема, як частинний випадок, центральна гранична теорема справедлива для суми великого числа незалежних випадкових величин, що мають один i той самий закон розподiлу.

Теорема 12.4 (Центральна гранична теорема). При досить загальних умовах розподiл суми великого числа незалежних випадкових величин близький до нормального розподiлу.

Теорема була доведена в 1900 р. О. М. Ляпуновим. Вона теоретично обгрунтовує можливiсть широкого застосування на практицi нормального закону розподiлу. Розглянемо кiлька прикладiв.

1) Припустимо, що проводиться вимiрювання деякої величини. На результат вимiрювання впливає величезна кiлькiсть випадкових факторiв, таких як коливання атмосферних умов, струс вимiрювального приладу, втомленiсть спостерiгача i т.д. Кожний з цих факторiв породжує малу похибку xi при вимiрюванi величини. Остаточна похибка буде сумою величезної кiлькостi випадкових похибок. I хоча закон розподiлу кожної з них нам невiдомий,

тим не менш можна стверджувати, що вся сума (тобто загальна похибка) буде мати закон розподiлу близький до нормального.

У повнiй вiдповiдностi зi сказаним, при математичнiй обробцi результатiв вимiрювань виходять з аксiоми, що випадкова похибка вимiрювань пiдпорядкована нормальному законовi розподiлу. З двох параметрiв цього закону один, а саме математичне очiкування, дорiвнює нулевi, а другий параметр – середнє квадратичне вiдхилення – характеризує точнiсть вимiрювальних приладiв.

2)Другий важливий приклад, що iлюструє роль нормального розподiлу, дає масове виробництво. У процесi такого виробництва виготовляються великi партiї однотипних товарiв. Усi важливi характеристики такого товару повиннi вiдповiдати певним стандартам. Але в дiйсностi завжди спостерiгається вiдхилення вiд стандарту, що пояснюється причинами випадкового характеру, оскiльки випуск товару пов’язаний з великим числом операцiй, багато з яких виконати точно неможливо. Кожна з цих причин породжує малу похибку, а в сумi такi похибки можуть давати значнi вiдхилення вiд стандарту. I тут, так само як i в попередньому прикладi,

євсi пiдстави вважати, що сумарне вiдхилення вiд стандарту пiдлягає нормальному законовi розподiлу.

3)Загальне споживання електроенергiї є сумою часток електроенергiй, що припадають на кожного споживача. Оскiльки число споживачiв велике, то можна вважати, що загальне споживання електроенергiї матиме розподiл близький до нормального. Подiбне можна сказати i про страхову компанiю, прибуток або збитки якої є сумою прибуткiв або збиткiв кожного окремого полiса.

Сформулюємо важливi частиннi випадки центральної граничної теореми. Для зручностi подальших формулювань скористаємось поняттям асимптотично нормального розподiлу. Розглянемо нескiнченну послiдовнiсть випадкових величин Z1; Z2; : : : ; Zn; : : :, кожна з яких має математичне очiкування n та середнє квадратичне вiдхидення n. Говорять, що послiдовнiсть Zn має асимптотично нормальний розподiл iз параметрами n i n, якщо закон розподiлу ймовiрностей нормованої випадкової величини

Zn n прямує до стандартного нормального закону розподiлу при

n

n ! 1. Сказане означає, що для будь-яких чисел a та b (a < b) має мiсце гранична рiвнiсть

Теорема 12.5. Якщо незалежнi випадковi величини xn (n = 1; 2; : : :) мають один i той самий закон розподiлу з математичним очiкуванням m та середнiм квадратичним вiдхиленням ,

Теорема 12.6. За умов справедливостi попередньої теореми се-

x1 + x2 + + xn має асимптотично n

нормальний розподiл iз параметрами m та pn, тобто, для будьякого iнтервалу (a; b) має мiсце така рiвнiсть

Iнтегральна наближена формула Лапласа. Припустимо, що проводиться серiя незалежних дослiдiв, в кожному з яких з iмовiрнiстю p може наступити деяка подiя А. Знову розглянемо випадковi величини Vn та i (див. формулу 12.4). Усi величиниi однаково розподiленi, отже мають спiльнi математичне очiкування p та середнє квадратичне вiдхилення ppq. Таким чином, всi умови теореми 12.5 виконанi i томуpбiномний розподiл буде асимптотично рiвний нормальному (np; npq), тобто

lim p(np + apnpq < Vn < np + bpnpq) = (b) (a):

n!1