chap_0
.pdf
Б.2. IНДИВIДУАЛЬНI ЗАВДАННЯ |
213 |
13.08 12.39 12.27 13.38 12.30 13.70 12.65 14.56 10.62 12.07
12.67 14.21 13.05 11.46 12.15 13.09 12.51 12.39 12.46 12.08
11.40 13.79 13.32 14.02 12.74 13.36 11.50 13.00 13.28 12.81
13.33 13.49 13.08 15.01 14.66 10.55 11.99 13.71 13.44 12.28
11.71 13.56 14.41 12.14 12.13 12.56 14.77 11.82 12.16 11.96
12.92 12.77 11.56 13.45 13.92 12.99 13.50 13.10 14.33 12.44
13.96 14.10 13.80 13.80 13.55 12.47 12.61 12.88 13.70 11.62
12.62 13.41 14.37 15.30 13.17 12.52 12.51 12.72 12.84 12.55
13.21 13.08 13.16 13.19 13.54 13.76 14.08 14.22 14.92 14.64
Варiант 26
13.73 12.01 12.95 12.41 12.06 12.90 13.27 12.19 13.07 12.43
13.24 12.69 12.54 13.20 12.62 13.34 12.80 13.81 11.94 12.59
12.83 13.62 13.06 12.17 12.73 13.17 12.81 12.53 12.63 12.64
12.11 13.42 13.08 13.71 12.77 13.21 12.49 12.86 13.24 12.95
13.06 13.10 13.23 14.08 13.87 11.88 12.29 13.26 13.20 12.63
12.33 13.34 13.52 12.73 12.71 12.83 13.96 12.49 12.61 12.43
12.90 12.81 12.37 13.08 13.44 12.78 13.42 13.01 13.69 12.61
13.27 13.65 13.49 13.47 13.48 12.56 12.83 12.89 13.34 12.38
12.80 13.12 13.56 14.05 13.15 12.91 12.96 12.94 12.94 12.84
13.19 13.03 13.09 13.18 13.26 13.44 13.63 13.66 13.82 13.79
Варiант 27
15.01 12.10 13.54 12.80 12.28 13.54 14.68 12.11 14.50 13.00
14.39 13.26 13.28 14.02 13.18 14.60 13.74 15.98 11.92 13.22
13.82 15.27 14.01 12.03 13.32 14.47 13.71 13.09 13.29 13.31
12.16 14.67 14.17 15.42 13.64 14.07 12.79 13.87 14.19 13.76
14.30 14.42 14.17 16.31 15.50 11.96 12.85 14.55 14.09 13.17
12.83 14.52 15.35 13.20 13.26 13.92 15.63 12.75 13.16 12.94
13.67 13.75 12.91 14.37 14.61 13.83 14.72 14.29 15.32 13.14
14.82 15.35 14.67 14.56 14.75 13.39 13.93 13.93 14.94 12.94
214 |
ДОДАТОК Б. РОЗРАХУНКОВА РОБОТА 2 |
13.78 14.10 15.45 16.40 14.23 13.74 13.73 13.71 13.68 13.57
14.43 14.06 14.21 14.33 14.70 14.67 15.48 15.03 15.56 15.94
Варiант 28
14.66 13.18 13.92 13.25 13.19 13.95 14.33 13.13 14.15 13.31
14.08 13.69 13.75 14.24 13.67 14.47 13.83 15.00 12.85 13.68
13.99 14.70 14.16 13.08 13.58 14.10 13.87 13.68 13.51 13.51
13.12 14.47 14.13 14.56 13.79 14.08 13.30 13.96 14.05 13.93
14.10 14.10 14.01 15.19 14.93 12.87 13.39 14.43 14.05 13.67
13.32 14.49 14.57 13.69 13.75 13.81 14.85 13.36 13.55 13.38
13.86 13.80 13.33 14.02 14.42 13.90 14.44 14.06 14.73 13.56
14.41 14.72 14.34 14.48 14.47 13.59 13.98 13.98 14.29 13.28
13.98 14.24 14.55 15.19 14.17 13.90 13.82 13.84 13.84 13.97
14.14 14.05 14.04 14.02 14.41 14.41 14.74 14.70 14.85 14.79
Варiант 29
16.23 13.38 14.51 13.91 13.36 14.99 15.99 13.03 15.09 13.71
15.45 14.49 14.30 15.34 14.40 15.83 14.98 16.52 12.87 14.19
14.86 16.39 15.40 13.27 14.41 15.18 14.94 14.10 14.43 14.33
13.44 15.97 15.03 16.07 14.58 15.47 13.76 14.93 15.49 14.79
15.15 15.37 15.36 17.30 16.80 12.83 13.50 15.82 15.11 14.05
13.58 16.00 16.37 14.32 14.08 14.64 17.00 13.54 14.30 13.74
14.56 14.58 13.76 15.17 15.50 14.57 15.85 15.09 16.40 14.14
15.51 16.25 15.79 15.54 15.79 14.33 14.54 14.50 15.53 13.95
14.51 15.08 16.36 17.39 15.35 14.56 14.68 14.93 14.67 14.98
15.33 15.47 15.05 15.37 15.87 15.97 16.13 16.35 16.55 16.64
Варiант 30
15.74 14.17 14.80 14.42 14.13 14.76 15.41 14.08 15.10 14.39
15.21 14.75 14.62 15.18 14.67 15.27 14.78 15.82 13.96 14.60
14.85 15.52 15.16 14.06 14.62 15.15 14.92 14.63 14.69 14.59
14.24 15.27 15.08 15.60 14.78 15.22 14.50 14.80 15.13 14.93
Б.2. IНДИВIДУАЛЬНI ЗАВДАННЯ |
215 |
15.18 |
15.17 |
15.16 |
16.24 |
15.79 |
13.81 |
14.31 |
15.34 |
15.25 |
14.57 |
14.28 |
15.25 |
15.63 |
14.62 |
14.72 |
14.79 |
15.84 |
14.42 |
14.67 |
14.26 |
14.96 |
14.91 |
14.43 |
15.24 |
15.48 |
15.00 |
15.34 |
15.14 |
15.66 |
14.52 |
15.42 |
15.57 |
15.40 |
15.30 |
15.48 |
14.60 |
14.81 |
14.89 |
15.40 |
14.39 |
14.93 |
15.10 |
15.65 |
16.13 |
15.21 |
14.91 |
14.86 |
14.89 |
14.83 |
14.85 |
15.18 |
15.20 |
15.21 |
15.08 |
15.49 |
15.27 |
15.74 |
15.63 |
15.95 |
15.85 |
Додаток В
Розрахункова робота 3
В.1 Розподiл Пуассона
Нехай випадкова величина x приймає значення 0,1,2,. . . Розподiл Пуассона задає вiдповiднiсть мiж значеннями величини x та ймовiрностями цих значень за допомогою спiввiдношення
P (x = m) = |
e |
m |
(m = 0; 1; 2; : : :) |
|
m! |
||||
|
|
|
Характерним для розподiлу Пуассона є рiвнiсть математичного очiкування i дисперсiї: M[x] = D[x] = .
Розглянемо статистичну таблицю |
0 |
1 |
2 |
. . . |
k |
w1 |
w2 |
w3 |
. . . |
wk |
На її основi обчислимо M[x] та D[x]. Якщо числа M[x] та D[x] близькi мiж собою, то можна висловити гiпотезу про те, що до-
слiднi данi пiдлягають розподiлу Пуассона. Приймемо M[x] i
=
за формулою
pk = p(x = k) = e k k!
обчислимо новi теоретичнi (вирiвнянi) значення.
Суть роботи полягає у знаходженнi для емпiричних даних розподiлу Пуассона та перевiрцi гiпотези при допомозi одного з критерiїв (Пiрсона чи Романовського с. 200).
216
В.1. РОЗПОДIЛ ПУАССОНА |
217 |
Приклад. Взяли репрезентативну вибiрку об’ємом в 100 ящикiв, в кожному з яких знаходиться певна кiлькiсть деталей. Данi про число бракованих деталей у кожному ящику наведено в таблицi
3 5 3 6 3 2 4 0 1 4 4 2 2 7 5 3 4
5 2 3 2 4 8 3 2 1 1 0 3 5 3 2 4 2
2 4 2 5 4 3 6 0 3 1 2 0 4 4 3 6 2
1 3 3 2 2 1 7 5 4 3 1 3 2 5 3 4 3
1 5 1 2 3 4 3 4 6 2 6 2 3 7 4 3 2
1 1 3 3 1 3 1 1 2 5 0 3 1 4 1
На її основi запишемо статистичний розподiл:
I |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
N |
5 |
16 |
19 |
25 |
16 |
10 |
5 |
3 |
1 |
W |
0,05 |
0,16 |
0,19 |
0,25 |
0,16 |
0,10 |
0,05 |
0,03 |
0,01 |
Обчислимо середнє значення та дисперсiю:
m = M[x] =1001 (0 5 + 1 16 + 2 19 + 3 25 + +4 16 + 5 10+ + 6 5 + 7 3 + 8 1) = 3; 02;
M[x2] =1001 (02 5 + 12 16 + 22 19 + 32 25 + +42 16 + 52 10+ + 62 5 + 72 3 + 82 1) = 12; 14;
d = D[x] =M[x2] M2[x] = 3; 02:
Вiзьмемо = 3 i обчислимо ймовiрностi pk:
|
|
|
|
3k |
3k |
|
|
|||
pk |
=p(x = k) = |
|
e 3 = 0; 05 |
|
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
k! |
|
k! |
|
|
||
p0 |
=0; 05 |
30 |
= 0; 05; |
: : : p8 = 0; 05 |
6561 |
= 0; 01: |
||||
1 |
40320 |
|||||||||
Отриманi значення занесемо у таблицю
218 |
|
|
|
ДОДАТОК В. РОЗРАХУНКОВА РОБОТА 3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
Для обчислення величини 2 три |
||||||||||
|
x |
wi |
pi |
(wi pi)2=pi |
останнi групи об’єднаємо в одну. |
||||||||||
|
0 |
0,05 |
0,05 |
0,0000 |
Отримаємо 2 |
= 100 0; 0113 = |
|||||||||
|
1 |
0,16 |
0,15 |
0,0007 |
1; 13. Число груп k = 7. Число |
||||||||||
|
2 |
0,19 |
0,23 |
0,0070 |
умов, що накладаються на часто- |
||||||||||
|
|
|
|
|
ти t = 2. Ступiнь вiльностi r = |
||||||||||
|
3 |
0,25 |
0,23 |
0,0017 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
k t = 7 2 = 5. За критерiєм |
||||||||||
|
4 |
0,16 |
0,17 |
0,0006 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
Романовського |
|
|
||||||||
|
5 |
0,10 |
0,10 |
0,0000 |
|
|
|||||||||
|
6 |
0,05 |
0,05 |
|
|
|
2 r |
|
= |
5 1; 13 |
= 1; 22 < 3: |
||||
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
8 |
0,01 |
0,01 |
0,0013 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
7 |
0,03 |
0,02 |
p2 |
|
r |
|
3; 16 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1,00 |
1,01 |
0,0113 |
Отже, дослiднi данi узгоджуються |
||||||||||
з розподiлом Пуассона. Покажемо, що аналогiчний висновок можна зробити, якщо
скористатись критерiєм Пiрсона. Вiзьмемо 10% рiвень значущостi. За допомогою таблицi (с. 248) знайдемо критичну точку
20 = qchisq(1 ; r) = qchisq(0; 9; 5) = 9; 24. Оскiльки значення критерiю ( 2 = 1; 13) менше критичної точки ( 20 = 9; 24), то немає пiдстав вiдхиляти на 10% рiвнi значущостi гiпотезу про Пуассонiвський розподiл бракованих деталей.
В.2 Iндивiдуальнi завдання
За даною таблицею статистичного розподiлу побудувати полiгон розподiлу.
Вирiвняти дослiднi данi за допомогою закону Пуассона.
Перевiрити узгодженiсть мiж емпiричними та теоретичними даними за допомогою критерiя Пiрсона.
Варiант |
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
N |
37 |
37 |
18 |
6 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
N |
29 |
36 |
22 |
9 |
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
N |
22 |
33 |
25 |
13 |
5 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
В.2. IНДИВIДУАЛЬНI ЗАВДАННЯ |
|
|
|
|
|
219 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
N |
17 |
30 |
27 |
16 |
|
7 |
2 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
5 |
N |
14 |
27 |
27 |
18 |
|
9 |
4 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
6 |
N |
11 |
24 |
27 |
20 |
|
11 |
5 |
2 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
7 |
N |
8 |
21 |
26 |
21 |
|
13 |
7 |
3 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
8 |
N |
6 |
18 |
24 |
22 |
|
15 |
8 |
4 |
2 |
1 |
|
0 |
0 |
9 |
N |
5 |
15 |
22 |
22 |
|
17 |
10 |
5 |
2 |
1 |
|
0 |
0 |
10 |
N |
4 |
13 |
20 |
22 |
|
18 |
12 |
6 |
3 |
1 |
|
1 |
0 |
11 |
N |
3 |
11 |
18 |
22 |
|
19 |
13 |
8 |
4 |
2 |
|
1 |
0 |
12 |
N |
2 |
9 |
17 |
21 |
|
19 |
16 |
9 |
5 |
2 |
|
1 |
0 |
13 |
N |
2 |
7 |
15 |
20 |
|
20 |
17 |
10 |
6 |
3 |
|
1 |
1 |
14 |
N |
1 |
6 |
13 |
18 |
|
19 |
16 |
12 |
7 |
4 |
|
2 |
1 |
15 |
N |
1 |
5 |
11 |
17 |
|
19 |
17 |
13 |
10 |
5 |
|
3 |
1 |
16 |
N |
1 |
4 |
10 |
15 |
|
18 |
17 |
14 |
10 |
6 |
|
3 |
2 |
17 |
N |
1 |
3 |
8 |
14 |
|
18 |
18 |
15 |
10 |
7 |
|
4 |
2 |
18 |
N |
1 |
3 |
7 |
13 |
|
17 |
17 |
15 |
11 |
8 |
|
4 |
2 |
19 |
N |
0 |
2 |
6 |
11 |
|
16 |
17 |
16 |
13 |
8 |
|
5 |
3 |
20 |
N |
0 |
2 |
5 |
10 |
|
14 |
17 |
16 |
13 |
9 |
|
6 |
4 |
21 |
N |
6 |
22 |
36 |
44 |
|
38 |
26 |
16 |
8 |
4 |
|
2 |
0 |
22 |
N |
4 |
18 |
34 |
42 |
|
38 |
32 |
18 |
10 |
4 |
|
2 |
0 |
23 |
N |
4 |
14 |
30 |
40 |
|
40 |
34 |
20 |
12 |
6 |
|
2 |
2 |
24 |
N |
2 |
12 |
26 |
36 |
|
38 |
32 |
24 |
14 |
8 |
|
4 |
2 |
25 |
N |
2 |
10 |
22 |
34 |
|
38 |
34 |
26 |
20 |
10 |
|
6 |
2 |
26 |
N |
2 |
8 |
20 |
30 |
|
36 |
34 |
28 |
20 |
12 |
|
6 |
4 |
27 |
N |
2 |
6 |
16 |
28 |
|
36 |
36 |
30 |
20 |
14 |
|
8 |
4 |
28 |
N |
2 |
6 |
14 |
26 |
|
34 |
34 |
30 |
22 |
16 |
|
8 |
4 |
29 |
N |
0 |
4 |
12 |
22 |
|
32 |
34 |
32 |
26 |
16 |
|
10 |
6 |
30 |
N |
0 |
4 |
10 |
20 |
|
28 |
34 |
32 |
26 |
18 |
|
12 |
8 |
Додаток Г
Розрахункова робота 4
Г.1 Застосування критерiю 2
Г.1. В експериментах спостерiгалася невiд’ємна неперервна випадкова величина . Одержано такi її значення (упорядкованi й округленi до 0,01) для = 48 експериментiв:
0,01 |
0,04 |
0,17 |
0,18 |
0,22 |
0,25 |
0,25 |
0,29 |
0,42 |
0,46 |
0,47 |
0,56 |
0,59 |
0,67 |
0,70 |
0,72 |
0,76 |
0,78 |
0,83 |
0,85 |
0,87 |
0,93 |
1,00 |
1,01 |
1,01 |
1,02 |
1,03 |
1,05 |
1,32 |
1,34 |
1,37 |
1,47 |
1,50 |
1,52 |
1,54 |
1,58 |
1,71 |
1,90 |
2,10 |
2,35 |
2,46 |
2,46 |
2,50 |
3,73 |
4,07 |
6,03 |
6,21 |
7,02 |
Перевiрити гiпотезу про те, що цi данi є реалiзацiєю вибiрки з
показникового розподiлу з параметром 1 (його функцiя розподiлу
F (x) = 1 e x; x > 0).
Г.2. Кiлькiсть смертей вiд удару копитом. Нижче наведено класичнi данi фон Борткевича про кiлькiсть осiб, убитих ударом копита коня в 10 пруських армiйських корпусах за 20 рокiв (1875 1895):
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 i бiльше |
Разом |
ni |
109 |
65 |
22 |
3 |
1 |
0 |
200 |
220
Г.1. ЗАСТОСУВАННЯ КРИТЕРIЮ 2 |
221 |
Тут i кiлькiсть смертей в одному корпусi за рiк; ni кiлькiсть корпусiв, у яких трапилося i смертей.
Перевiрити гiпотезу, про те, що кiлькiсть смертей вiд удару копитом коня в одному корпусi протягом року має розподiл Пуассона.
Г.3. Абiтурiєнти, якi вступають до iнституту, були навмання розподiленi на два потоки по 300 чоловiк у кожному. Результати екзамену з однiєї й тiєї самої дисциплiни в кожному потоцi виявилися такими:
1-й потiк: бали ”2”, ”3”, ”4” та ”5” одержали вiдповiдно 33, 43, 80 та 144 чоловiки;
2-й потiк: бали ”2”, ”3”, ”4” та ”5” одержали вiдповiдно 39, 35, 72 та 154 чоловiки.
Чи iснує зв’язок мiж оцiнкою на екзаменi й потоком, в якому абiтурiєнт складав екзамен?
Г.4. З 1871 по 1900 р. у Швейцарiї народилося 1359 671 хлопчикiв i 1285 086 дiвчаток.
Чи узгоджується з цими даними гiпотеза Ho: iмовiрнiсть народження хлопчика становить 0,5?
Г.5. Розподiл -частинок. В експериментi Резерфорда i Гейгера радiоактивна речовина спостерiгалася протягом N = 2612 промiжкiв часу (кожний тривалiстю 1/8 хв) i для кожного з них реєструвалася кiлькiсть -частинок, якi досягли лiчильника.
У таблицi, вмiщенiй нижче, наведено кiлькiсть Nk промiжкiв часу, протягом яких спостерiгалося точно k -частинок. Загальна кiлькiсть частинок T = 10 132. Середня їх кiлькiсть, що реєструвалася за один iнтервал, = T/N = 10132/2612 = 3,879.
k |
Nk |
k |
Nk |
0 |
57 |
6 |
273 |
1 |
203 |
7 |
139 |
2 |
383 |
8 |
49 |
3 |
525 |
9 |
27 |
4 |
532 |
10 |
10 |
5 |
408 |
>10 |
6 |
|
|
Разом |
2612 |
222 |
ДОДАТОК Г. РОЗРАХУНКОВА РОБОТА 4 |
Скориставшись критерiєм 2, перевiрити гiпотезу про те, що кiлькiсть частинок, якi досягають лiчильника, пiдпорядковується розподiлу Пуассона.
Г.6. Кмiтливiсть та матерiальнi умови. У таблицi, вмiщенiй нижче, наведено результати обстежень 697 школярiв. Хлопчикiв було впорядковано згiдно IQ i вiдповiдно до умов їхнього життя вдома. При цьому використано позначення: А дуже здiбний, Вдосить розумний, С має середнi здiбностi, D недостатньо розвинений, Е розумово вiдсталий. Чи можна вважати, що умови життя (забезпеченiсть) дiтей впливають на їхню кмiтливiсть?
|
|
Кмiтливiсть хлопчикiв |
|
|
||||
Забезпеченiсть |
A |
|
B |
C |
D |
|
E |
Разом |
Добра |
33 |
|
137 |
125 |
47 |
|
8 |
350 |
Погана |
21 |
|
127 |
129 |
61 |
|
9 |
347 |
Разом |
54 |
|
264 |
254 |
108 |
|
17 |
697 |
Зауваження. IQ Intellectual qualsty (розумовi здiбностi) показник розумових здiбностей учнiв у балах, який використовується в американськiй педагогiчнiй практицi.
Г.7. Чотири монети були пiдкинутi 20160 разiв, при цьому комбiнацiї: чотири ”герби”, три ”герби” i ”решка”, два ”герби” i двi ”решка”, один ”герб” i три ”решка”, чотири ”решки” з’явилися вiдповiдно таку кiлькiсть разiв: 1181, 4909, 7583, 5085, 1402 (данi експерименту, проведеного В.I.Романовським).
Чи свiдчать цi данi про те, що кiлькiсть ”гербiв”, яка з’явилася на чотирьох монетах, є бiномно розподiленою випадковою величиною?
Сформулювати i розв’язати поставлену задачу як задачу перевiрки статистичних гiпотез.
Г.8. Помилкове з’єднання телефонних номерiв. У таблицi наведено данi про кiлькiсть помилкових з’єднань телефонних номерiв. Усього спостерiгалося 267 номерiв.