chap_0

для другого – 0,8. Знайти ймовiрностi того, що при одному залпi у мiшень влучить тiльки один iз стрiльцiв (подiя А), у мiшень влучать обидва стрiльцi (подiя В), обидва стрiльцi промахнуться (подiя С). Вiдповiдь. а) 0,38; б) 0,56; в) 0,06.

5.5. По лiнiї зв’язку, яка має 4 приймально-передавальнi пункти, передається повiдомлення. На першому пунктi вiдбувається спотворення повiдомлення з ймовiрнiстю 0,1. На кожному наступному пунктi ймовiрнiсть спотворення зростає на 0,05. Яка ймовiрнiсть отримання на кiнцi лiнiї вiрного повiдомлення?

Вiдповiдь. p = 0; 9 0; 85 0; 8 0; 75 = 0; 459.

5.6.Ймовiрнiсть одного влучення у цiль при одному залпi з двох гармат дорiвнює 0,38. Знайти ймовiрнiсть влучення у цiль при одному пострiлi з першої гармати, якщо вiдомо, що для другої гармати ймовiрнiсть такої подiї дорiвнює 0,8. Вiдповiдь. 0,7.

5.7.Iз партiї виробiв товарознавець вiдбирає вироби вищого сорту. Ймовiрнiсть того, що вирiб, який взятий навмання, виявиться вищого сорту, дорiвнює 0,8. Знайти ймовiрнiсть того, що з трьох перевiрених виробiв тiльки два вироби будуть вищого сорту.

Вiдповiдь. 0,384.

5.8.Пристрiй складається з трьох елементiв, що працюють незалежно один вiд одного. Ймовiрностi безвiдмовної роботи (за час t) першого, другого та третього елементiв вiдповiдно дорiвнюють 0,6; 0,7 та 0,8. Знайти ймовiрнiсть того, що протягом часу t безвiдмовно будуть працювати: а) лише один елемент; б) лише два елементи; в) усi три елементи. Вiдповiдь. а) 0,188; б) 0,452; в) 0,336.

5.9.Ймовiрностi того, що деталь, яка потрiбна складальнику, знаходиться у першому, другому, третьому та четвертому ящиках, вiдповiдно дорiвнюють 0,6; 0,7; 0,8 та 0,9. Знайти ймовiрностi того, що потрiбна деталь є: а) не бiльш нiж у трьох ящиках; б) не менш нiж у двох ящиках. Вiдповiдь. а) 0,6976; б) 0,9572.

5.10.Радист тричi викликає кореспондента, причому наступний виклик робиться тiльки за умови, що попереднiй виклик не прийнято. Ймовiрнiсть того, що буде прийнято перший виклик, дорiвнює 0,3; другий – 0,4; третiй – 0,5. Знайти ймовiрнiсть виклику кореспондента до закiнчення сеансу зв’язку. Вiдповiдь. 0,79.

54 РОЗДIЛ 5. ЙМОВIРНIСТЬ СУМИ ТА ДОБУТКУ ПОДIЙ

Рис. 5.1. Яка схема надiйнiша?

5.11. Кожний з вимикачiв на схемах a) та b) (див. рис. 5.1) випадково ввiмкнений з ймовiрнiстю p. Визначте схему, по якiй з бiльшими шансами пройде струм.

Вiдповiдь. Ймовiрнiсть пройти струму по a) дорiвнює p3(2 p)2, а по b) – p3(2 p2). Значення першого виразу бiльше другого.

5.12.В урнi є п’ять куль iз номерами вiд 1 до 5. Навмання по однiй виймають три кулi без повернення в урну. Знайти ймовiрностi таких подiй: а) послiдовно з’являться кулi з номерами 1, 4, 5; б) вийнятi кулi будуть мати номери 1, 4, 5 незалежно вiд того, в якiй послiдовностi вони з’явилися. Вiдповiдь. а) 1=60; б) 0,1.

5.13.По каналу зв’язку передають два сигнали: 0 та 1. Через перешкоди сигнал пiддається спотворенню з ймовiрнiстю 0,05 незалежно вiд того, чи були спотворенi попереднi сигнали, чи нi. Посланий двiйковий код 10110. Знайти ймовiрнiсть того, що: а) код отримано без спотворень; б) отримана комбiнацiя 01001; в) отримана комбiнацiя 11111.

Вiдповiдь. а) 0; 774; б) 3; 125 10 7; в) 2; 143 10 3.

5.14.В електричний ланцюг послiдовно ввiмкнено три елементи, що працюють незалежно один вiд одного. Ймовiрностi вiдмов першого, другого та третього елементiв вiдповiдно дорiвнюють: p1 = 0; 1; p2 = 0; 15; p3 = 0; 2. Знайти ймовiрнiсть того, що в ланцюзi не буде струму. Вiдповiдь. 0,388.

5.15.Пристрiй мiстить два елементи, якi працюють незалежно. Ймовiрностi вiдмов елементiв дорiвнюють 0,05 та 0,08. Знайти ймовiрнiсть вiдмови пристрою, якщо для цього досить, щоб вiдмовив хоча б один елемент. Вiдповiдь. 0,126.

5.16.Три дослiдники незалежно один вiд одного проводять вимiрювання деякої фiзичної величини. Ймовiрнiсть того, що перший дослiдник зробить помилку при зняттi показань приладу, дорiвнює 0,1. Для другого та третього дослiдникiв такi ймовiрностi

вiдповiдно дорiвнюють 0,15 та 0,2. Знайти ймовiрнiсть того, що при одному вимiрюваннi хоча б один iз дослiдникiв припустить помилку.

Вiдповiдь. 0,388.

5.17. При одному циклi огляду радiолокацiйної станцiї, що стежить за космiчним об’єктом, об’єкт буде виявлено з ймовiрнiстю p. Виявлення об’єкта в кожному циклi вiдбувається незалежно вiд iнших. Проведено n циклiв огляду. Яка ймовiрнiсть того, що об’єкт буде виявлений? (Знайти ймовiрнiсть протилежної подiї).

Вiдповiдь. 1 (1 p)n.

5.18. По цiлi стрiляють ракетами. Ймовiрнiсть влучення кожної ракети в цiль дорiвнює p; влучення окремих ракет – незалежнi подiї. Кожна ракета, яка влучила в цiль, уражає її з ймовiрнiстю p1. Стрiляють до поразки цiлi або до витрати всього боєзапасу ракет. Є n ракет. Яка ймовiрнсть того, що: а) не весь боєзапас буде витрачено? б) пiсля поразки цiлi залишиться не менше двох ракет? в) буде витрачено не бiльше двох ракет?

Розв’язання. Нехай Ai – цiль уражена при i-му пострiлi. а) Розглянемо протилежну подiю – весь боєзапас витрачено. Звiдси маємо: або цiль уражена при n-му пострiлi, або цiль взагалi не уражена.

pp1(1 pp1)n 1 + (1 pp1)n = (1 pp1)n 1:

б) Розглянемо протилежну подiю – цiль не уражена або пiсля поразки цiлi залишиться менше двох ракет (одна або жодної).

pp1(1 pp1)n 2 + (1 pp1)n 1 = (1 pp1)n 2:

5.19. Прилад, що складається з n блокiв, виходить iз ладу, якщо виходять iз ладу всi блоки. Блоки виходять iз ладу незалежно один вiд одного. Надiйнiсть кожного блоку дорiвнює p. Обчислити надiйнiсть приладу.

56 РОЗДIЛ 5. ЙМОВIРНIСТЬ СУМИ ТА ДОБУТКУ ПОДIЙ

Рис. 5.2. Який спосiб дублювання надiйнiший?

5.20.Для пiдвищення надiйностi приладу вiн дублюється другим таким самим приладом; надiйнiсть кожного приладу дорiвнює p. При виходi з ладу першого приладу вiдбувається миттєве переключення на другий прилад. Знайти надiйнiсть: а) цiєї системи приладiв; б) системи, якщо пристрiй переключення працює з надiйнiстю p1. Вiдповiдь. а) 1 (1 p)2; б) 1 (1 p)(1 pp1).

5.21.Для пiдвищення надiйностi приладу вiн дублюється n 1 iншими такими самими приладами; надiйнiсть приладу дорiвнює p. а) Знайти надiйнiсть цiєї системи приладiв. Скiльки треба взяти приладiв, щоб надiйнiсть системи була не менше нiж p? б) Знайти надiйнiсть системи приладiв, якщо пристрiй, що включає дублюючий прилад, має надiйнiсть p1. Скiльки треба взяти приладiв, щоб надiйнiсть була не менше нiж p?

Вiдповiдь. а) 1 (1 p)n; б) 1 (1 p)(1 pp1)n 1.

5.22.Прилад складається з трьох вузлiв. Перший вузол мiстить n1 елементiв, другий – n2 елементiв, третiй – n3 елементiв. Прилад вийде з ладу, якщо зiпсується перший вузол; другий i третiй вузли дублюють один одного. Вихiд iз ладу елемента означає вихiд iз ладу того вузла, до якого входить цей елемент. Надiйнiсть кожного елемента p. Елементи виходять iз ладу незалежно один вiд одного. Знайти надiйнiсть приладу. Вiдповiдь. pn1 (1 (1 pn2 )(1 pn2 )).

5.23.Технiчна система складається з n блокiв, надiйнiсть кожного з яких дорiвнює p. Вихiд iз ладу принаймнi одного блоку призводить до виходу з ладу всiєї системи. Для пiдвищення надiйностi системи вона дублюється n такими самими блоками. Який спосiб дублювання дає бiльш високу надiйнiсть: a) дублювання кожного блоку; b) дублювання всiєї системи (див. рис. 5.2)? Вiдповiдь. Надiй-

нiсть за схемою а) pa = (1 (1 p)2)n; надiйнiсть за схемою б) pb = 1 (1 pn)2;

pa > pb.

5.24. Два гравцi A та B по черзi стрiляють у цiль. Виграє той,

хто влучить перший. Ймовiрностi влучення в цiль для першого та другого гравцiв вiдповiдно дорiвнюють p1 i p2. Першим стрiляє A. Обчислити ймовiрнiсть виграшу для кожного гравця.

Розв’язання. Нехай подiї M та N означають виграш вiдповiдно для першого або другого гравця. Подiї – влучення в цiль для першого та другого гравцiв при i-му пострiлi – позначимо вiдповiдно Ai та Bi. Неважко переконатися у справедливостi наступних рiвностей:

5.25. Два гравцi по черзi пiдкидають монету. Виграє той, у кого вперше випаде герб. Знайти ймовiрнiсть виграшу для кожного з гравцiв.

Розв’язання. Задача розв’язується аналогiчно попереднiй. Нехай A – виграв перший гравець, B – виграв другий гравець. Подiї – при i-му пiдкиданнi монети в першого або другого гравця випав герб – позначимо вiдповiдно Ai та Bi.

5.26. В урнi n бiлих та m чорних куль. Два гравцi по черзi дiстають кулi з урни, повертаючи кожен раз узяту кулю в урну. Виграє той, хто першим дiстане бiлу кулю. Знайти ймовiрностi виграшу для кожного гравця.

Розв’язання. Нехай A(B) – виграв перший (другий) гравець. Ai(Bi) – при i-му вийманнi перший (другий) гравець вийняв бiлу

58 РОЗДIЛ 5. ЙМОВIРНIСТЬ СУМИ ТА ДОБУТКУ ПОДIЙ

кулю. Аналогiчно попереднiм двом задачам будемо мати:

5.27. Система складається з n однакових блокiв. Усi блоки виймають i пiсля профiлактики навмання ставлять назад. Яка ймовiрнiсть того, що хоч один блок займе своє попереднє мiсце?

Вiдповiдь. p = 1 2!1 + 3!1 4!1 + + ( 1)n 1 n1! : Потрiбно скористатись формулою (5.4) для ймовiрностi суми подiй.

5.28. Поїзд має N вагонiв. Кожен iз n пасажирiв обирає собi вагон навмання. Яка ймовiрнiсть того, що: а) у кожному вагонi буде принаймнi один пасажир? б) буде зайнято рiвно r вагонiв?

Вiдповiдь. 1=4.

5.29. Покупець випиває у випадковому порядку n стаканiв соку i n стаканiв води. Обчислити ймовiрнiсть того, що випита ним кiлькiсть соку пiсля кожного стакана не перевищує випиту кiлькiсть води. Яка ймовiрнiсть того, що рiвно пiсля 2r стаканiв випита кiлькiсть соку не перевищує випиту кiлькiсть води?

Вiдповiдь. 1=(n + 1).

5.30.Монету пiдкинули 2n раз. Вiдомо, що герб i цифра випали однакову кiлькiсть разiв. Яка ймовiрнiсть того, що в процесi пiдкидання число випадання герба було весь час бiльше числа випадання цифри? Вiдповiдь. 1=(2n + 1).

5.31.У мiстi з населенням (n + 1) чоловiк мешканець дiзнається про якусь новину. Вiн передає її першому зустрiчному, той ще одному й т. д. На кожному кроцi той, хто дiзнався про новину, може з однаковою ймовiрнiстю повiдомити її будь-кому з n чоловiк. Яка ймовiрнiсть того, що протягом r одиниць часу: а) новина не повернеться до людини, яка дiзналась про неї першою; б) новину нiким не буде повторено. Розв’язати цю задачу, припускаючи, що на кожному кроцi новина повiдомляється групi з N випадково обраних осiб.

ведливостi теореми:

nn

З цього твердження дiстаємо наступний наслiдок, яким частiше користуються на практицi i який часто називають формулою повної ймовiрностi.

Теорема 6.2. Нехай подiї H1; H2; : : : ; Hn попарно несумiснi, їх ймовiрностi не рiвнi нулевi i [nj=1Hj = . Тодi для довiльної подiї A справедлива формула

З а у в а ж е н н я. У теоремi 6.2 на подiї Hi накладається умова [nj=1Hj = , що зручно з таких мiркувань. Якщо подiї Hi рiвноймовiрнi, то ймовiрнiсть кожної подiї Hi дорiвнюватиме 1=n.

Дiйсно,

n

X

p([ni=1Hi) = p(Hi) = np(Hi) = 1:

i=1

За у в а ж е н н я. Подiї H1; H2; : : : ; Hn зручно називати гiпотезами.

За у в а ж е н н я. Про попарно несумiснi подiї H1, H2,. . . , Hn для яких виконується умова [nj=1Hj = , говорять, що вони утворюють повну групу.

Нехай тепер вiдомо, що вiдбулась подiя A. Очевидно, що подiя A настає разом з деякою гiпотезою Hi. Виникає питання, як знайти ймовiрнiсть настання кожної гiпотези або, що те саме p(Hi=A)? Вiдповiдь на це питання дає формула Байеса.

Теорема 6.3 (Формула Байеса). Нехай гiпотези H1; H2; : : : ; Hn i подiя A; p(A) > 0 задовольняють умовам теореми 6.1. Тодi має мiсце формула

З а у в а ж е н н я. Запишемо формулу 6.4 в розгорнутому виглядi

p(Hi)p(A=Hi)

p(Hi=A) = p(H1)p(A=H1) + p(H2)p(A=H2) + + p(Hn)p(A=Hn):

Як бачимо, в чисельнику дробу знаходиться один з доданкiв знаменника.

Приклад 6.1. Маємо два автомати якi виробляють товари першої та другої якостi. Перший автомат виробляє в середньому 60% товарiв першої якостi, а другий 80%. Продуктивнiсть першого автомата в два рази бiльша нiж другого. Продукцiя обох автоматiв розмiщується на одному складi.

а) Беремо зi складу навмання одну одиницю товару. Знайти ймовiрнiсть того, що вона буде першої якостi.

б) Взятий навмання товар виявився першої якостi. Яка ймовiрнiсть того, що вiн виготовлений на першому (другому) автоматi?

Р о з в’ я з о к. Нехай A; A1; A2 означають подiї: A – взятий товар першої якостi,

Дiйсно, з 3n штук товару 2n штук зроблено на першому автоматi, а n штук на другому i тому у вiдповiдностi з класичним означенням ймовiрностi маємо

Оскiльки A1 [ A2 = i подiї A1; A2 не перетинаються, то на пiдставi формули повної ймовiрностi

Для пукту б) на пiдставi формули Байеса маємо:

6.2Контрольнi питання

1.Яке твердження має назву "формула повної ймовiрностi"?

2.Яке значення має формула повної ймовiрностi?

3.Доведiть формулу повної ймовiрностi.

4.Якi подiї прийнято називати гiпотезами?

5.Чи повиннi гiпотези бути рiвноймовiрними?

6.Чи повиннi гiпотези утворювати повну групу?

7.Яку ймовiрнiсть називають апрiорною?

8.Яку ймовiрнiсть називають апостерiорною?

9.Яка теорема має назву "формула Байєса"?

10.Яке значення має формула Байєса?

11.Доведiть формулу Байєса.

12.Як пов’язанi мiж собою формули повної ймовiрностi та Байє-

са?

13.Чому ймовiрностi гiпотез повиннi бути додатнiми?