chap_0

14.2. ГIПОТЕЗИ ПРО РIВНIСТЬ СЕРЕДНIХ ЗНАЧЕНЬ 163

Рис. 14.1. Двобiчна критична область

x1; x2; : : : ; xn та y1; y2; : : : ; ym. Далi, вiдповiдно заданому рiвню значущостi , будують критичну область, яка, зрозумiло, залежатиме вiд конкуруючої гiпотези.

Перший випадок. Нульова гiпотеза H0 : M[x] = M[y]. Конкуруюча гiпотеза H1 : M[x] 6= M[y].

У цьому випадку, вважаючи нульову гiпотезу вiрною, будують двобiчну критичну область так, щоб ймовiрнiсть попадання у неї значення критерiю дорiвнювала заданому рiвню значущостi. Для цього, користуючись функцiєю qt(p; k), знаходять крити-

чну точку t0 = t=2 = qt(p; k), де p = 1 =2, а k = m + n 2 ступiнь вiльностi. Якщо jtj < t0, то нульову гiпотезу приймають.

Якщо jtj > t0, то нульову гiпотезу вiдхиляють (див. рис. 14.1). Другий випадок. Нульова гiпотеза H0 : M[x] = M[y]. Конку-

руюча гiпотеза H1 : M[x] > M[y].

У цьому випадку будують правосторонню критичну область так, щоб ймовiрнiсть попадання у неї значення критерiю дорiвнювала . Для цього, користуючись функцiєю qt(x; k), знаходять критичну точку t0 = t = qt(p; k), де p = 1 , а k = m + n 2ступiнь вiльностi. Якщо t < t0, то нульову гiпотезу приймають. Якщо t > t0, то нульову гiпотезу вiдхиляють (див. рис. 14.2).

Третiй випадок. Нульова гiпотеза H0 : M[x] = M[y]. Конкуруюча гiпотеза H1 : M[x] < M[y].

Аналогiчно попередньому випадковi, будують лiвосторонню критичну область так, щоб ймовiрнiсть попадання у неї значення критерiю дорiвнювала . Для цього, користуючись функцiєю qt(x; k), знаходять критичну точку t0 = t = qt( ; m+n 2). Якщо t > t0, то нульову гiпотезу приймають. Якщо t < t0, то нульову

гiпотезу вiдхиляють (див. рис. 14.3).

Приклад 14.1. Група з 10 студентiв протягом канiкул перебувала в спортивному таборi. До i пiсля сезону у них визначали мiсткiсть легенiв (у мiлiлiтрах). За результатами вимiрювань необхiдно визначити, чи iстотно змiнився цей показник пiд впливом iнтенсивних фiзичних вправ.

До експерименту: 3400, 3600, 3000, 3500, 2900, 3100, 3200, 3400, 3200, 3400.

Пiсля експерименту: 3800, 3700, 3300, 3600, 3100, 3200, 3200, 3300, 3500, 3600.

Р о з в’ я з о к. Можна вважати, що ми маємо по 10 незалежних спостережень деяких випадкових величини x та y. Будемо вважати дисперсiї цих величин рiвними, оскiльки спосiб визначення мiсткостi легенiв до i пiсля сезону однаковий. Вiдносно математичних очiкувань величин x та y висувається гiпотеза H0 : M[x] = M[y], яку ми приймемо за основну. Проаналiзувавши данi прикладу, бачимо, що данi вибiрки пiсля експерименту здебiльшого переважають данi вибiрки до експерименту. Тому, альтернативна гiпотеза

14.2. ГIПОТЕЗИ ПРО РIВНIСТЬ СЕРЕДНIХ ЗНАЧЕНЬ 165

буде однобiчною вiдповiдно третьому випадковi H1 : M[x] < M[y]. Прийняття основної гiпотези буде свiдчити про випадкову i неiсотну змiну мiсткостi легенiв, а її вiдхилення про те, що пiд впливом iнтенсивних фiзичних вправ мiсткiсть легенiв змiнилася iстотно. Знайдемо послiдовно середнi значення, дисперсiї та величину критерiя Стьюдента:

зьмемо рiвень значущостi = 0; 05 i знайдемо критичну точку t0 = qt(0; 05; 18) = 1; 7.

Оскiльки значення критерiю ( 1; 5) бiльше за критичну точку ( 1; 7), то на такому рiвнi значущостi основну гiпотезу приймають i немає пiдстав вважати, що середнє значення об’єму легень змiнилося iстотно.

Вiзьмемо iнше значення рiвня значущостi, наприклад, = 0; 1 i знайдемо вiдповiдну критичну точку t0 = qt(0; 1; 18) = 1; 33.

Тут, навпаки значення критерiю ( 1; 5) менше за критичну точку ( 1; 7). Тому, на рiвнi значущостi 10% основну гiпотезу вiдхиляють i вважають, що пiд впливом iнтенсивних фiзичних вправ мiсткiсть легенiв змiнилася iстотно.

Приклад 14.2. Дослiджувалась можливiсть зменшення видаткiв на розвiдування покладiв золота на однiй з дiлянок родовища. Для цього замiсть частини шурфiв пробурили свердловини методом ударно-канатного свердлiння (видатки на свердлiння меншi).

Результати випробування зразкiв порiд iз шурфiв i свердловин наведено нижче (вмiст Аu в мiлiграмах на кубiчний метр породи).

Свердловини: 322, 250, 225, 315, 399, 348, 192, 375, 381, 538, 198, 317, 293.

Шурфи: 478, 299, 541, 457, 251, 221, 548, 431, 397, 462, 457, 251, 221, 548.

Чи можна вважати, що результати випробування зразкiв, узятих iз свердловин, i зразкiв, узятих iз шурфiв, рiзняться неiстотно?

Р о з в’ я з о к. У даному прикладi маємо 13 незалежних спостережень випадкової величини x (результати випробування зразкiв порiд iз свердловин) та 14 незалежних спостережень випадкової величини y (результати випробування зразкiв порiд з шурфiв). Будемо вважати дисперсiї цих величин рiвними, оскiльки спосiб визначення вмiсту золота в мiлiграмах на кубiчний метр породи однаковий для обох методiв).

Вiдносно математичних очiкувань величин x та y висувається гiпотеза H0 : M[x] = M[y], яку ми приймемо за основну. Альтернативна гiпотеза матиме двобiчний характер H1 : M[x] 6= M[y], що вiдповiдає першому випадковi. Прийняття основної гiпотези буде свiдчити про випадкову й неiстотну рiзницю вмiсту золота в кубiчному метрi породи для обох методiв, а її вiдхилення про те, що ця рiзниця iстотна.

Обчислимо середнi значення, дисперсiї та величину критерiя Стьюдента:

Ступiнь вiльностi k = m+n 2 = 13+14 2 = 25. Вiзьмемо рiвень значущостi = 0; 1 i знайдемо критичну точку t0 = qt(0; 95; 25) = 1; 7.

Оскiльки значення критерiю j 1; 8j > 1; 7, то на рiвнi значущостi 10% основну гiпотезу вiдхиляємо. Тобто, розбiжнiсть у вимiрюваннях для обох методiв невипадкова.

14.3Гiпотези про середнє значення

Нехай випадкова величина x розподiлена нормально. Математичне очiкування цiєї величини невiдоме, проте є пiдстави вважати, що воно дорiвнює певному числу M[x] = M0. Наприклад, якщо x довжина партiї деталей, що виготовляються станкомавтоматом, то припускають, що математичне очiкування цiєї величини дорiвнює проектованому розмiровi M0. Щоб перевiрити це припущення, знаходять вибiркове середнє значення x i встановлюють iстотне чи нi розходження мiж M0 та x. Якщо розходження виявиться неiстотним, то станок забезпечує в середньому проектований розмiр. Якщо розходження iстотне, то станок потребує налагодження.

Критерiй Стьюдента 2. Будемо вважати справедливою основну гiпотезу про рiвнiсть математичного очiкування випадкової величини x певному числу M0 (H0 : M[x] = M0). В якостi критерiю перевiрки основної гiпотези вiзьмемо випадкову фун-

де x вибiркове середнє значення, s2x виправлена вибiркова дисперсiя, а n об’єм вибiрки.

Доведено, що ця величина має розподiл Стьюдента з n 1 ступенем вiльностi (c. 124).

Критична область будується залежно вiд конкуруючої гiпоте-

зи.

Перший випадок. Нульова гiпотеза H0 : M[x] = M0. Конкуруюча гiпотеза H1 : M[x] 6= M0. У цьому випадку будують двобiчну критичну область так, щоб ймовiрнiсть попадання у неї значення критерiю дорiвнювала заданому рiвню значущостi . Для цього, користуючись функцiєю qt(p; k), знаходять критичну точку t0 = qt(1 =2; n 1), де n об’єм вибiрки. Якщо абсолютне значення критерiю t менше числа t0, то нульову гiпотезу приймають. У противному випадку її вiдхиляють (див. рис. 14.1).

Другий випадок. Нульова гiпотеза H0 : M[x] = M0. Конкуруюча гiпотеза H1 : M[x] > M0.

У цьому випадку, вважаючи нульову гiпотезу вiрною, будують правосторонню критичну область так, щоб ймовiрнiсть попадання у неї значення критерiю дорiвнювала . Для цього, користуючись функцiєю qt(p; k), знаходять критичну точку t0 = qt(1 ; n 1). Якщо t < t0, то нульову гiпотезу приймають. Якщо t > t0, то нульову гiпотезу вiдхиляють (див. рис. 14.2).

Третiй випадок. Нульова гiпотеза H0 : M[x] = M0. Конкуруюча гiпотеза H1 : M[x] < M0.

Аналогiчно попередньому випадковi, будують лiвосторонню критичну область так, щоб ймовiрнiсть попадання у неї значення критерiю дорiвнювала . Для цього, користуючись функцiєю qt(p; k), знаходять критичну точку t0 = qt( ; n 1). Якщо t > t0, то нульову гiпотезу приймають. Якщо t < t0, то нульову гiпотезу вiдхиляють (див. рис. 14.3).

Приклад 14.3. Номiнальний опiр резистора 2000 Ом. Для контролю вiдiбрано партiю з 12 резисторiв. Пiсля вимiрювання кожного опору з точнiстю до 5 Ом одержано такi значення: 2130, 2090, 2030, 2080, 1920, 2020, 2015, 2000, 2045, 1940, 1980, 1970.

Чи можна вiдхилення вiд номiналу (2000 Ом) розглядати як випадковi (допустимi), чи, навпаки, результати вимiрювань свiдчать про те, що опiр резисторiв iстотно вiдрiзняється вiд номiналу?

Р о з в’ я з о к. Результати вимiрювання пiдлягають нормальному законовi. Тому, можемо говорити про нормально розподiлену випадкову величину x. Данi прикладу можна розглядати як окремi значення цiєї величини: x1 = 2130, x2 = 2090,. . . ,

x12 = 1970, а номiнал 2000 Ом вважати її математичним очiкуванням. Висунемо основну гiпотезу, що вiдхилення вiд номiналу мають випадковий i несуттєвий характер, тобто H0 : M[x] = 2000. Тодi, змiст альтернативної гiпотези H1 полягатиме в тому, що вiдхилення вiд номiналу будуть невипадковi i суттєвi, коротко H1 : M[x] 6= 2000. У цьому випадку критична область буде двобiчна (перший випадок). Обчислимо вибiрковi середнє значення, дисперсiю та критерiй Стюдента:

x =2130 + 2090 + + 1970 = 2018; 12

s2 =(2130 x)2 + (2090 x)2 + + (1970 x)2 = 3838; 11

Вiзьмемо рiвень значущостi = 0; 1 i знайдемо вiдповiдну критичну точку t0;05;11 = 1; 8. Бачимо, що t = 1; 025 лежить в iнтервалi ( 1; 8; 1; 8). Отже, вiдхиляти головну гiпотезу на рiвнi значущостi= 0; 1 не має пiдстав, а розбiжнiсть вимiрювань має випадковий та несуттєвий характер.

Приклад 14.4. Сталевий дрiт, що йде на виготовлення канатiв, повинен мати середнє граничне значення зусилля на розрив 6720 кг/см2 (у середньому розрив дроту настає при такiй напрузi). Ранiше проведена серiя спостережень дає пiдставу вважати, що значення граничного зусилля на розрив, яке витримують окремi зразки дроту, має нормальний розподiл. 3 метою контролю якостi з кожної партiї дроту, що надходять на завод, 20 зразкiв випробовують на розрив. Результати одного з таких випробувань наведено нижче (фiксувалися граничнi значення зусилля на розрив, за яких вiдбувається руйнування зразка, тобто границя мiцностi).

Границя мiцностi: 6300, 6870, 6720, 6980, 6780, 6780, 6780, 6720, 6630, 6660, 6900, 7130, 6690, 6750, 6560, 6700, 6930, 6720, 6950, 6960.

Чи можна на пiдставi наведених даних стверджувати, що для цiєї партiї дроту границя мiцностi бiльша нiж 6720 кг/см2?

Р о з в’ я з о к. За нульову гiпотезу приймемо твердження, що середнє граничне значення зусилля на розрив складає 6720 кг/см2, або H0 : m = 6720. Альтернативна гiпотеза, на вiдмiну вiд попереднього прикладу, буде вже однобiчною H1 : m > 6720. Обчислимо вибiрковi середнє значення, дисперсiю та критерiй (14.7):

x =6300 + 6870 + + 6960 = 6776; 20

s2 =(6300 x)2 + (6870 x)2 + + (6960 x)2 = 32120; 19

Вiзьмемо рiвень значущостi = 0; 1 i знайдемо вiдповiдну верхню границю t0;9;19 = 1; 33. Бачимо, що t = 1; 4 > 1; 33. Отже, основна гiпотеза на рiвнi значущостi десяти вiдсоткiв вiдхиляється. Тому, не можна вважати, що для цiєї партiї дроту границя мiцностi бiльша нiж 6720 кг/см2.

14.4Гiпотези про дисперсiю

Нехай випадкова величина x розподiлена нормально. Дисперсiя цiєї величини невiдома, проте є пiдстави вважати, що вона дорiвнює певному числу D[x] = D0. Незалежнi спостереження величини x дадуть нам статистичний матерiал вибiрку (x1; x2; : : : ; xn) обсягом n. На її основi обчислимо середнє значення та виправлену вибiркову дисперсiю s2x.

Задача така. Як за величиною вибiркової дисперсiї s2x установити, iстотно чи нi рiзняться мiж собою числа s2x та D0 (вибiркова та гiпотетична дисперсiї).

На практицi така задача виникає, коли потрiбно провiрити точнiсть приладiв, iнструментiв, станкiв, технологiчної сталостi певних процесiв. Нехай контролюється розмiр деталей, що виготовляються станком-автоматом. Якщо вибiркове значення дисперсiї, обчислене на основi вибiрки, бiльше вiдомої допустимої величини

розсiювання розмiру деталей, то виникає питання, чи не потребує станок налагодження.

Критерiй Пiрсона ( 2 - критерiй). Висловимо основну гiпотезу про рiвнiсть дисперсiї деякому числу H0 : D[x] = D0. Для перевiрки гiпотези iснує спецiальна функцiя

Доведено, що ця функцiя має pchisg(x; n 1) або 2(x; n 1) розподiл (c. 123), де n об’єм вибiрки.

Критична область будується залежно вiд конкуруючої гiпоте-

зи.

Задамо рiвень значущостi i обчислимо величину 2 за формулою (14.8).

Перший випадок. Нульова гiпотеза H0 : D[x] = D0. Конкуруюча гiпотеза H1 : D[x] 6= D0. У цьому випадку, вважаючи нульову гiпотезу вiрною, будують двобiчну критичну область так, щоб ймовiрнiсть попадання у неї значення критерiю дорiвнювала заданому рiвню значущостi . Для цього, користуючись функцiєю qchisq(p; k), знаходять двi критичнi точки 21 = qchisq( =2; k) та22 = qchisq(1 =2; k), де k = n 1 ступiнь вiльностi.

Якщо 21 < 2 < 22, то нульову гiпотезу приймають. У противному випадку її вiдхиляють (див. рис. 14.4).

Другий випадок. Нульова гiпотеза H0 : D[x] = D0. Конкуруюча гiпотеза H1 : D[x] > D0.

У цьому випадку, вважаючи нульову гiпотезу вiрною, будують правосторонню критичну область так, щоб ймовiрнiсть попадання у неї значення критерiю дорiвнювала . Для цього, користуючись функцiєю qchisq(p; k), знаходять критичну точку 22 = qchisq(1

; n 1).

Якщо 2 < 22, то нульову гiпотезу приймають. Якщо 2 > 22, то нульову гiпотезу вiдхиляють (див. рис. 14.5).

Третiй випадок. Нульова гiпотеза H0 : D[x] = D0. Конкуруюча гiпотеза H1 : D[x] < D0.

Аналогiчно попередньому випадковi, будують лiвосторонню критичну область так, щоб ймовiрнiсть попадання у неї значе-

ння критерiю дорiвнювала . Для цього, користуючись функцiєю qchisq(p; k), знаходять критичну точку 21 = qchisq( ; n 1).

Якщо 2 > 21, то нульову гiпотезу приймають. Якщо 2 < 21, то нульову гiпотезу вiдхиляють (див. рис. 14.6).

Приклад 14.5. У результатi перевiрки коефiцiєнта пружностi зразкiв за стандартною процедурою встановлено, що дисперсiя коефiцiєнта пружностi дорiвнює 324. Дiбрано вибiрку обсягом 20 й одержано оцiнку дисперсiї s2 = 530. Чи є слушним припущення про нестабiльнiсть стандартної процедури перевiрки коефiцiєнта пружностi (стабiльнiсть характеризується дисперсiєю)?

Р о з в’ я з о к. Нульова гiпотеза H0 : D[x] = 324. Конкуруюча гiпотеза H1 : D[x] > 324. Прийняття нульової гiпотези свiдчитиме про стабiльнiсть стандартної процедури перевiрки коефiцiєнта пружностi, а її не прийняття про вiдсутнiсть такої стабiльностi.

Обчислимо критерiй Пiрсона:

Вiзьмемо рiвень значущостi = 0; 1 i знайдемо критичну точку для побудови критичної областi (другий випадок) 22 = qchisq(0; 9; 19) = 27; 2.

Бачимо, що значення критерiю 2 = 31; 08 бiльше за критичну точку 22 = 27; 2. Тому є пiдстава говорити про нестабiльнiсть стандартної процедури перевiрки коефiцiєнта пружностi на рiвнi значущостi 10%.

14.5Гiпотеза про рiвнiсть дисперсiй

На практицi задача порiвняння дисперсiй виникає тодi, коли потрiбно порiвняти мiж собою точнiсть приладiв, iнструментiв, методiв вимiрювань тощо. Зрозумiло, що перевагу матиме той прилад чи iнструмент, який забезпечуватиме найменшу мiру розсiювання результатiв, тобто найменшу дисперсiю.

Розглянемо двi нормально розподiленi випадковi величини x та y. Провiвши n незалежних спостережень однiєї величини та