2. Построение проверяющего теста. Управляемость и наблюдаемость периодически нестационарной системы

Примем за основу нашего рассмотрения абстрактный подход, описанный выше для линейной дискретной стационарной системы. Сразу заметим, что в стационарном случае диагностический эксперимент был направлен на проверку трех матриц F, G и H. В данном случае проверяемых матриц в N раз больше, а, значит, можно предположить, что и искомый тест окажется вN раз длиннее. Тест должен включать установочные и транслирующие последовательности. При их определении использовались свойства управляемости и наблюдаемости диагностируемой системы. В настоящем параграфе мы пойдем тем же путем. При этом мы сможем убедиться, что критерии управляемости и наблюдаемости для стационарных и периодически нестационарных систем весьма похожи, но, тем не менее, не совпадают. Дело в том, что появляется зависимость этих свойств от временного интервала, на котором они оцениваются. Обратимся к рис. 5.9, где представлена диаграмма матриц периодически нестационарной системы. Здесь отмечены различные временные интервалы и соответствующие им различные периодические последовательности матриц. С каждой последовательностью матриц связана своя последовательность индексов. Обозначим множество этих последовательностей через . Их начальные отрезки на интервале длительностью в период получаются в результате циклического сдвига последовательности индексов 1, 2, …,N. При N = 3 имеем три последовательности индексов: Γ={1, 2, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2}.

Определим для периодически нестационарной системы установочную последовательность. Для этого запишем выражения для состояния системы на протяжении nN тактов (n – размерность вектора состояния x), работающей при последовательности индексов (матриц) , обозначая через–i-й член последовательности :

(5.20)

где – произведение всех матриц, соответствующих последовательности.

Аналогично стационарному случаю преобразуем последнее выражение, введя матрицу управляемости на последовательности:

где

Отсюда получаем выражение для установочной последовательности

.

Таким образом, для вычисления установочной последовательности (для управляемости системы на последовательности ) достаточна (можно показать, что и необходима) неособенность матрицы. Однако, если начальное состояниеx(0) будет соответствовать началу другой последовательности , то потребуется неособенность другой матрицыи т.д. В результате критерием полной управляемости (на любой) являетсядля всех.

При анализе трансляции надо также действовать по плану рассмотрения стационарного случая. Аналогичные выражения могут быть получены добавлением к (5.20) равенства и умножения второго равенства на, третьего наи т.д. Действуя далее по плану стационарного случая, увидим, что матрица наблюдаемостиимеет вид:

Таким образом, максимальная длительность наблюдения не превышает nN, а критерий полной наблюдаемости будет: для всех.

Теперь можно коротко обсудить построение проверяющего теста для периодически нестационарной системы. Структура теста очень напоминает описанную для стационарного случая. Однако поскольку матриц в описании системы в N раз больше, то в общем случае и длина теста в N раз больше. При этом тест состоит из N пар фрагментов, и каждая пара имеет следующую структуру: