4. Непрерывные цепи Маркова

Пусть система может находиться в одном из N+1 дискретных состояний и переход системы из состояния в состояние может осуществляться в любой момент времени. Обозначим черезвероятность того, что в момент времениt система будет находиться в состоянии . Очевидно, что для любого моментаt сумма вероятностей состояний равна единице

,

так как соответствующие события несовместны и образуют полную группу.

Пусть для состояний системы предусмотрен переход из ви в момент времениt система находится в состоянии . Рассмотрим промежуток времени, обозначив черезвероятность того, что система, находившаяся в момент времениt в состоянии , на интервалеперейдет из него в состояние.

Назовем интенсивностью перехода предел отношения вероятности перехода системы за времяиз состоянияв состояниек длине промежутка

.

Отсюда следует, что при малом имеем приближенное равенство

. (2.5)

Если все интенсивности не зависят отt, то марковский процесс называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Применяя аппарат непрерывных марковских цепей, при анализе надежности системы удобно пользоваться графом состояний системы, в котором вершины отражают ее возможные состояния, а дуги – направления переходов. Для простейшего случая, когда система состоит из одного восстанавливаемого элемента, имеем граф на рис. 2.1 (S⁰ – система работает,S¹– система восстанавливается).

Дуги графа состояний отмечаются соответствующими интенсивностями перехода. Обычно предполагается, что не только время безотказной работы, но и время восстановления элементов системы случайно и распределено по экспоненциальному закону. Так, в примере, представленном на рис. 2.1,– это интенсивность отказов системы, а– интенсивность ее восстановлений (,– среднее время восстановления).

В заключение настоящего подраздела приведем еще одну характеристику надежности, предназначенную для безызбыточных, но восстанавливаемых систем. Эту характеристику принято называть стационарным коэффициентом готовности и обозначать . Предполагается, что в рассматриваемых системах используются средства для обнаружения отказов – средства диагностирования. Функционирование таких систем можно представить как последовательность чередующихся интервалов времени, на одном из которых система работает по прямому назначению, а на втором восстанавливается после обнаруженного отказа. При этом стационарный коэффициент готовности определяется как отношение:

. (2.6)

Ясно, что эту характеристику можно трактовать как вероятность того, что в произвольный момент времени восстанавливаемая система будет находиться в работоспособном состоянии.

Часто задачу анализа надежности описывают так, будто на систему действуют простейшие потоки отказов и восстановлений. При этом не следует забывать, что в представлении процесса возникновения аппаратурных отказов в виде потока есть известная доля условности. Действительно, после того как происходит первый отказ (первое событие потока), все равно – продолжается этот поток или прекращается. Такое представление выглядит достаточно адекватным, лишь когда восстановление системы после отказа можно считать практически мгновенным.