У негомоцентрических пучков нет общего фокуса, но есть локальные фокусы. Локальный фокус – это точка, в которой пересекается часть лучей пучка (рис.4.4.3). У бесконечно узкого пучка всегда есть локальный фокус. Если рассматривать широкий пучок как совокупность бесконечно узких пучков, то совокупность локальных фокусов образует поверхность сложной формы, которая называется каустикой.

4.4.3. Астигматический пучок

Частным случаем негомоцентрического пучка является астигматический пучок. Бесконечно узкий астигматический пучок имеет два локальных фокуса –

сагиттальный фокус Fs и меридиональный фокус Fm . Широкий астигматический пучок имеет две плоскости симметрии, которые взаимно перпендикулярны – меридиональную и сагиттальную. Каустика представляет собой две полоски (вертикальная и горизонтальная) (рис.4.4.4). У широкого астигматического пучка поверхность волнового фронта – поверхность двоякой кривизны, то есть волновой фронт имеет торическую форму.

Рис.4.4.4. Астигматический пучок.

Расстояние между точками Fs и Fm – это мера астигматизма. Это расстояние называют продольным астигматизмом δ (Fs , Fm ). Если δ (Fs , Fm )= 0 , то пучок будет гомоцентрическим. Совокупность лучей астигматического пучка называют конусом Штурма.

4.5. Перенос поля в приближении геометрической оптики. Пределы применимости геометрической оптики

4.5.1. Уравнение переноса комплексной амплитуды в приближении геометрической оптики

В приближении геометрической оптики поле распространяется вдоль лучей. При таком подходе перенос поля – это перенос комплексной амплитуды U (P1 ) из точки P1 в точку P2 .

62

Рис.4.5.1. Перенос поля из точки в точку.

Пусть имеются точки P1 и P2 , которые находятся в различных средах (рис.4.5.1). Если известна комплексная амплитуда поля в точке P1 , то можно найти комплексную амплитуду поля в точке P2 .

Комплексную амплитуду поля в точках P1 и P2 можно выразить в соответствии с выражением (1.3.23):

где a – вещественная амплитуда.

Рассмотрим, как в отдельности друг от друга переносятся эйконал и вещественная амплитуда.

Уравнение переноса эйконала можно получить из выражения (4.3.1) для

Для переноса вещественной амплитуды рассмотрим лучевую (световую) трубку (рис.4.5.2), которая состоит из бесконечно малой площадки dS1 , и бесконечно узкого пучка лучей – нормалей к волновому фронту. Пучок вырезает на поверхности бесконечно малую площадку dS2 .

Рис.4.5.2. Лучевая трубка.

Энергия распространяется вдоль лучей, и если нет потерь, то поток энергии через площадку dS1 равен потоку энергии через площадку dS2 :

63

Чтобы учесть потери, можно ввести коэффициент пропускания по энергии τ(P1P2 ) между точками. Тогда выражение (4.5.3) можно переписать

Отсюда следует уравнение переноса вещественной амплитуды:

следующим образом:

Введем функцию комплексного пропускания среды вдоль луча f (P1P2 )

между точками P1 и P2 , которая характеризует среду между точками P1 и P2 :

Заметим, что в рамках геометрической оптики происходит поточечный перенос поля, то есть каждый луч переносит энергию независимо от других лучей. Поле в точке P2 определяется только точкой P1 .

4.5.2. Пределы применимости геометрической оптики

Основное приближение геометрической оптики – это приближение коротких длин волн. Это означает, что длины волн считаются пренебрежимо малыми по сравнению с размерами неоднородностей электромагнитного поля и среды. Поэтому геометрическая оптика не применима там, где необходимо исследовать тонкую структуру неоднородностей, сравнимых с длиной волны.

Итак, геометрическая оптика не описывает распределение светового поля в следующих ситуациях:

•вблизи предмета и изображения в оптических системах, то есть там, где возможна тонкая структура неоднородностей,

•вблизи фокусов пучков.

Вэтих случаях требуются другие подходы к описанию светового поля, основанные на теории дифракции.

64